Tasa de interés II (El interés simple)

La primera forma más común de expresar una tasa de interés es por periodo de tiempo (mes, trimestre, semestre, año o en general cualquier periodo (13 días, 93 días, 250 días). Estos últimos períodos son más comunes de lo que se piensa. Para ilustrarlo, pensemos en un inversionista que tiene excedente de liquidez y llama a su corredor de bolsa para pedirle que le ayude a buscar una inversión de corto plazo (menos de un año) y recibe la propuesta de comprar un certificado de depósito a término (CDT en Colombia) que tiene un plazo original de un año pero le faltan 235 días para su vencimiento. Usted hace las cuentas entre lo que invierte y lo que recibirá al vencimiento y confirma que la firma comisionista le ofrece una rentabilidad neta (después de todo costo como comisiones, impuestos, etc.) del 4,5%, lo que significa que esta tasa de interés que recibirá por su inversión es la equivalente a un período de 235 días (4,5% 235 días vencidos).

Igual puede suceder con cualquier inversión periódica, como una acción que se compra y se mantiene por un periodo de 500 días. Al final usted compara el precio de compra y el valor neto recibido en la venta y podrá determinar la rentabilidad percibida con lo cual establecerá la tasa de interés generada por el título en el mercado, el cual será un interés vencido equivalente a 500 días. Por supuesto que esta rentabilidad puede ser negativa en caso que el precio de la acción haya caído en el mercado y deba vender el título por un precio inferior al de compra.

Otro ejemplo lo constituye el reporte de la inflación en un país que es un indicador muy valioso que afecta a la economía en general porque reporta no solamente el cambio de precio en los bienes y servicios del mercado en el más reciente período (inflación mensual) sino que puede generar expectativas y condiciones propicias para inversión o lo contrario para aplazar o desinvertir. Este indicador es informado mensualmente por la autoridad competente (Departamento Nacional de Estadística, DANE en el caso de Colombia) y es expresado en porcentaje (%) que expresa el aumento (inflación) o disminución (deflación) de los precios en el último mes y por ello se informa en los primeros días hábiles de cada mes.

La inflación también es útil conocerla de manera acumulada y el DANE la informa año corrido (si informa en los primeros días hábiles de julio la inflación correspondiente al mes de junio por ejemplo, también informará la inflación acumulada entre enero y junio de ese año. También es útil conocer la información de inflación anual acumulada (para el mismo ejemplo, el DANE informa la inflación acumulada en el periodo comprendido entre julio del año anterior y junio del presente año (12 meses seguidos que configuran una año). Cuando la información se divulga, ya ha pasado el mes correspondiente por lo que la tasa de inflación será mes vencida y la del año se considera una tasa efectiva (anual) lo que implica que el costo de vida se ha acumulado cada mes sobre los precios del mes anterior. Aquí es necesario indicar que la inflación acumulada anual (ya sea año corrido) o anual es la acumulación de la inflación de cada mes pero esto no se logra sumando la inflación, se logra mediante el modelo de tasa efectiva que lo explicaremos a profundidad en otra entrada a este blog.

Una vez usted logre ser experto matemática financiera la puede calcular como parte de su entrenamiento.

Interés Simple (tasa de interés periódica)

Recordemos que las tasas periódicas se refieren entonces al costo del dinero por determinada unidad de tiempo, llámense interés mensual, trimestral, semestral, anual o cualquier período de tiempo no convencional como trece días(13), noventa y ocho (98) días, trescientos setenta días (370), etc. Este interés periódico es el que utilizaremos en la explicación del interés simple.

La tasa de interés simple es la forma más sencilla en que todos nos involucramos, por ejemplo, al tomar un crédito de cualquier naturaleza y para cualquier fin. Cuando nos dirigimos al banco a pagar cada una de las cuotas, el sistema de información determina con base en la tasa de interés periódica (mes vencido en la mayoría de casos) y el saldo de la deuda, el monto a pagar por concepto de interés y el valor previsto como amortización del crédito dependiendo de la modalidad escogida (cuota fija o amortización fija e intereses sobre saldo). El caso de cuotas fijas lo trataremos en una entrada especial sobre el tema de anualidades.

La manera de calcular el valor de los intereses es la siguiente:

Valor del interés = Saldo de Capital * Tasa de interés periódica * Número de períodos.

Se presume que la tasa de interés y el período están correlacionados, esto significa que, si pago mensualmente la cuota, la tasa de interés será mensual; si la pago trimestralmente, la tasa de interés será la equivalente trimestral. En términos generales el interés que pago por una suma adeudada sin contemplar el abono a capital estará dada por la ecuación (1):

(1) I= C * I% * N

Donde:

I= valor del interés a pagar en la moneda, en este caso el peso colombiano ($COP)

C: Valor del capital adeudado

I%: Tasa de interés periódica (mes vencido, trimestre vencido, mes anticipado, etc.)

N: Número de períodos.

Ejemplo 1

Determine los intereses totales que tiene que pagar por una deuda de $1.000.000 (un millón de pesos) a una tasa de interés del 1,2% mensual durante 9 meses suponiendo que no hay abono a capital.

Capital: $1.000.000 (un millón de pesos)
Interés: 1.2% mensual (se supone vencido si no se especifica anticipado)
Períodos: 9 (nueve)

Interés a pagar (de la ecuación 1)

(1) I= $C * I% * N = $1.000.000 * 1.2% * 9 = $108.000

Debo pagar $108.000 de interés en total en nueve meses por tener un crédito de $1.000.000. Este es el valor total del dinero desembolsado durante 9 meses (cada mes) que tuve el crédito suponiendo que no se realizaron abonos a capital. La tabla de amortización de este crédito se resume a continuación:

El interés mensual es la forma más sencilla de entender el concepto del costo del dinero. Piense que el dinero es similar a otro activo como un apartamento, un local comercial o una oficina por el cual se paga un arriendo periódico. En el caso del dinero el costo del valor del arriendo es la tasa de interés (%) y corresponderá en pesos ($COP) al valor desembolsado.

Ejemplo 2

Usted le presta dinero a un familiar que ha decidido iniciar un negocio que parece rentable y considera que tiene bajo riesgo de perder su dinero, por lo que accede a ayudar y presta la suma de diez millones de pesos ($10.000.000) a una tasa mensual del 1% y el acuerdo es mantener el crédito por el monto total del capital al menos durante dos años periodo después del cual su familiar considera que la empresa podrá reembolsar el capital. Usted se pregunta cuánto interés recibirá mensualmente y cuánto interés cancelará después de tres meses (3), después de seis (6) meses, después de un (1) año, al final de los dos años?.

Para el cálculo recordemos la ecuación (1):

Interés mensual: C * i% * N = $1.000.000*1%* 1= $10.000 mensuales

Interés acumulado en tres meses: $1.000.000 * 1% * 3= $30.000

Interés acumulado en seis meses: $1.000.000 * 1% * 6= $60.000

Interés acumulado en un año: $1.000.000 * 1% * 12= $120.000

Interés acumulado en dos años : $1.000.000 * 1% * 24 = $240.000

Recuerde que usted recibe el interés y lo consumirá o probablemente lo guardará en una caja fuerte en casa. Si usted reinvierte nuevamente el interés que recibe, los cálculos deben complementarse con esta nueva operación lo que será un tema que trataremos más adelante en el capítulo de interés efectivo el cual describe esta situación.

Ejemplo 3.

Un amigo de su oficina está en problemas financieros porque se le han acumulado algunas deudas y requiere por tres meses un préstamo por $2.500.000 y le dice que no quiere abusar de su amistad y que prefiere pagarle intereses, para lo cual le ofrece pagarle al final de los tres meses la suma de $75.752 que corresponden a los intereses que el ha calculado a un costo que considera razonable. Usted quiere saber cual es la tasa de interés que recibirá por su dinero.

De la ecuación (1) se desprende que el interés es igual a:

La tasa de interés que le reconocerá su compañero de oficina es del 3,0301% y como le pagará el interés al finalizar un periodo de tres meses, esta tasa es de tres meses, esto es 3,0301% trimestral. Si quiere calcular la tasa equivalente mensual NO debe dividir por tres, esto requiere un conocimiento especial para calcularlo y lograr determinar la equivalencia entre tasas de interés de diferentes períodos, lo cual es posible hacerse manera técnica como veremos más adelante (interés efectivo).

Con la aclaración anterior podemos afirmar que las tasas periódicas NO deben dividirse para calcular las tasas de interés de periodos más cortos. Para ser más precisos y enfáticos, una tasa semestral (seis meses) NO debe dividirse por 6 para calcular la tasa equivalente mensual, o dividirse entre dos para calcular la tasa equivalente trimestral o peor aún, no debe multiplicarse por dos para calcular la tasa equivalente anual. El cálculo correcto lo veremos cuando estudiemos en detalle el interés compuesto (efectivo) que nos permite hallar equivalencias entre tasas de diferentes períodos.

Las tasas periódicas se refieren (en el caso del costo del dinero) a su tasa por determinada unidad de tiempo sobre una cantidad de dinero, prestada o en préstamo y el tiempo puede corresponder a días, meses, trimestres, semestres o a cualquier período de tiempo no convencional como trece (13) días, noventa y ocho días (98), trescientos setenta días, etc.

Seguiremos la secuencia de tasas de interés en las próximas entradas a este blog.

Tasas de interes I

En términos generales haremos la presentación de las tasas de interés para entenderlas de manera integral, sus modalidades de expresión tal y como se dan en la economía y en el sector financiero en particular. Las tasas de interés son complejas en su origen, formación, estructuración, medición, seguimiento y pronóstico y tienen importantes repercusiones en el mercado, sin embargo la identificación de sus expresiones y equivalencias son más sencillas de lo que parecen y por ello intentaremos referirnos, en las diferentes entradas de este blog sobre el tema, acerca de su comprensión, manejo en situaciones prácticas que se presentan en la vida real de cualquier persona y sus equivalencias. También haremos múltiples ejercicios para hacer un link entre la teoría y la práctica. Espero que todo el tema permita el conocimiento y aprehensión por parte de estudiantes y sirva a profesores de pregrado y posgrado como material para sus cursos sobre el particular.

Lo primero que debe conocer acerca de las tasas de interés es la forma en que se expresan. Siempre que sea divulgada una tasa, está será expresada, además de especificar el valor (en %, ejemplo 5% o fracción decimal como 0,05) con una referencia adicional acerca de la descripción de la tasa, la cual puede ser periódica (diaria, mensual, etc.), nominal periódica (por ejemplo nominal mes vencido NMV) o efectiva (se presume anual por construcción de esta tasa y como estándar del mercado). Por lo tanto una tasa podría expresarse como 1,2% mensual para un crédito de vehículo; una tasa del 16% nominal trimestre vencida para un crédito de tesorería o la tasa del 6% efectiva para la colocación de un título en el mercado de capitales. Veremos más adelante la relación de las tasas en sus diferentes expresiones y lo mas importante, sus equivalencias.

Como recién lo mencionamos, las tasas de interés se pueden expresar de tres diversas maneras y se pueden establecer equivalencias entre ellas. A modo de introducción mencionaremos que la tasa periódica es la más sencilla de todas y corresponde al interés generado por período de tiempo y sirve de base para la mayoría de transacciones financieras alrededor del mundo cuando se trata de cobrar o pagar un crédito tradicional y también puede hacer referencia a múltiples aspectos como la rentabilidad de una inversión por período de tiempo, al cambio de precios de bienes y servicios por período de tiempo (inflación), al mayor rendimiento obtenido por un atleta en su entrenamiento durante un tiempo específico, al incremento de cualquier variable por período de tiempo, etc.

Necesario mencionar que las tasas periódicas que hemos señalado se consideran vencidas porque se aplican o calculan al final de un período de tiempo determinado. Pero también es posible referirse a tasas periódicas anticipadas (antes que el periodo inicia). Para el caso de un crédito que se tome mes anticipado por ejemplo, los intereses pactados se pagarían al inicio del período y el capital, al final del mismo período. Como el interés anticipado se cobra al inicio del período, la tasa es menor que la equivalente vencida y esto porque quien recibe el interés puede usar esos recursos contrario de quien los paga anticipadamente que renuncia a su uso para pagar una tasa inferior.

Por supuesto que hay forma de calcular la tasa anticipada a partir de su vencida o lo contrario y eso lo expondremos en una entrada específica en otro blog. Es de hacer notar, cuando nos referimos a una tasa periódica, que debe asumirse que es vencida y no se requiere hacerlo explícito (1,26% mensual, 2,8% trimestral). Al contrario, si se trata de interés anticipado, debe expresarse junto con el valor de la tasa informada (1,2% mes anticipado, 1,2% mensual anticipado ó 1,2% ma).

Las tasas periódicas, ya sean vencidas o anticipadas pueden reexpresarse en términos anuales en cuyo caso se expresan como nominales. Siempre que se trate de tasas nominales, se debe asumir que se trata de tasas anuales. Como entonces se reexpresan las tasas periódicas en términos nominales? El procedimiento consiste en tomar tasa periódica (vencida o anticipada) y multiplicarla por el número de períodos correspondiente en el año. Así, una tasa del 1% mensual será equivalente (no igual, desde el punto de vista matemático) a una tasa del 12% nominal mes vencido o en forma breve 12% nmv (1% * 12 = 12%); una tasa del 4% trimestral anticipada será equivalente al 16% ntv (3%*4=12%) ó 16% nominal trimestre vencido. Se puede inferir entonces que, conocida una tasa nominal, puedo calcular su tasa periódica equivalente para lo cual solamente debo dividir por su período natural. (12% nmv /12 = 1% mensual; 16% ntv /4= 4% trimestral); 3,5% trimestre anticipado será equivalente al 14% nta ó 14% nominal trimestre anticipado.

Señalamos que las tasas nominales, a pesar de ser anuales, no se pueden dividir por cualquier valor sugerible para calcular tasas periódicas, solamente se pueden dividir por el periodo expresado (la expresión que acompaña al 12%, nmv, se refiere a meses y por lo tanto, el valor solo se debe dividir por 12; la expresión que acompaña al 16%, ntv, se refiere a trimestres y el valor solamente se podría dividir por 4). Veremos en una entrada adicional a este blog la ampliación de este tema. y los cuidados que deben tenerse en su cálculo.

Hasta aquí hemos abordado entonces dos tipos de tasas, periódicas (anticipadas o vencidas) y nominales (anuales) las cuales se encuentran conectadas como hemos visto y pueden establecerse sus equivalencias. Es común el error de informar una tasa periódica como nominal (nominal mensual). He visto anuncios en vitrinas de ventas en Colombia indicando financiación de vehículos a una tasa del 1.2% nmv (nominal mes vencido) lo que significaría una tasa mensual muy baja (1.2% nmv/12= 0,1% mensual) lo que obviamente debe llevara reflexionar que se trata de un error en la nomenclatura con la cual ha sido expresada la tasa de financiación que debe corregirse y expresarse correctamente del 1.2% mensual.

La tercera tasa de interés se trata del interés efectivo (que se considera anual pon convención), aunque este concepto lo desarrollaremos en otra entrada de este blog. Las tasas efectivas son una expresión que permite calcular el interés acumulado de una inversión por la capitalización de los intereses durante un año lo que significa que una vez termina un período (mes por ejemplo), los intereses se acumulan con el capital y son de nuevo invertidos (reinvertidos) a la misma tasa de interés por un período adicional y de  nuevo hasta completar un año. Para el periodo de un mes, la inversión se hará por doce meses capitalizando siempre el interés (primer período de un mes y reinversión de 11 períodos adicionales), para un periodo de un trimestre, la inversión se hará por un trimestre y se renovará durante tres trimestres adicionales hasta completar un año. De esta manera, cualquier período menor de un año podrá capitalizar intereses y reinvertir sus fondos hasta completar un año. Aunque en la práctica, no existen inversiones por ejemplo de 98 días que se puedan renovar por 98 días de manera consecutiva hasta completar un año (tres períodos y fracción tomado 365/98= 3.7244898), los cálculos sí pueden hacerse teóricamente para determinar la tasa efectiva equivalente. Como la tasa efectiva se calcula después de finalizados los períodos de acumulación, se tiene claro que se construye a partir de tasas periódicas vencidas.

La tasa de interés efectiva debe ser informada por los agentes del mercado al establecer sus estrategias de captación de recursos y colocación de créditos (en caso de los establecimientos autorizados por la Superintendencia Financiera de Colombia) lo cual permite a los terceros interesados y público en general comparar las tasas y tomar decisiones. Tambien es útil cuando se reportan las tasas de interés que se aplican para los créditos de consumo de las diferentes franquicias de tarjetas de crédito en el mercado (VISA, MASTERCARD, AMERICAN EXPRES, etc.) y en general a cualquier producto que capte recursos del público o los coloque (créditos de cualquier tipo). 

En la imagen podemos observar la relación de las tasas de interés que inician con las tasas periódicas las cuales son anticipadas o vencidas y pueden reexpresarse como nominales (anuales). Puede también calcularse una tasa periódica anticipada a partir de su equivalente vencida (igual período) o lo contrario. De las tasas periódicas vencidas puedo calcular las tasa efectiva equivalente.

TIP´s para recordar y aplicar siempre:

1. Puedo calcular de manera directa una tasa anticipada solamente a partir de su correspondiente tasa periódica vencida o lo contrario, la tasa vencida a partir de su correspondiente tasa periódica anticipada.

2. Las tasas nominales se calculan directamente a partir de las tasas periódicas ya sean estas anticipadas o vencidas multiplicando la tasa periódica por el número de periodos para completar un año.

3. No puedo calcular directamente una tasa nominal anticipada a partir de su equivalente nominal vencida o lo contrario, esto solamente se puede hacer entre tasas periódicas y del mismo período. Por lo tanto para calcular una tasa nominal anticipada desde una tasa nominal vencida, debo tomar esta última tasa y calcular su equivalente periódica vencida, utilizarla para calcular la tasa equivalente periódica anticipada y tomar esta nueva tasa para calcular su equivalente nominal anticipada.

4. Cuando quiero calcular tasas efectivas de manera directa, solo debo utilizar tasas periódicas vencidas.

5. Las únicas tasas de interés que se pueden dividir son las tasas nominales por cuanto para construirlas he utilizado la multiplicación de una tasa periódica por el número de periodos de capitalización en el año. Esto indica que una tasa nominal no se puede dividir por cualquier número, solamente por el número de periodos utilizado en su construcción (12 para nominal mensual anticipada o vencida, 4 para nominal trimestral anticipada o vencida, 2 para nominal semestral anticipada o vencida, etc.)

6. Del punto anterior se infiere que una tasa efectiva "JAMAS" se debe dividir y tampoco debe hacerse esto con ninguna tasa periódica. Si quiero conocer una tasa periódica particular desde otra tasa periódica puedo hacerlo pero requiere un cálculo especial que veremos en detalle en otra entrada de esta blog.

7. Desde una tasa efectiva solamente puedo calcular tasas periódicas vencidas, por lo tanto puedo calcular directamente cualquier tasa periódica vencida (mensual, trimestral, semestral, diaria, 87 días, etc).

8. Cuando debo calcular una equivalencia de tasas de interés de diferente periodo de la tasas disponible, debe aplicarse el modelo de tasa efectiva. 

Por supuesto existe una formulación matemática para calcular cualquier equivalencia de una tasa de interés a partir de otra dada, pero es difícil de memorizar y he encontrado alumnos de últimos semestres de carrera que olvidan fácilmente el mundo de las tasas de interés (matemática financiera) aduciendo que no recuerdan las fórmulas. Eso puede terminar si conocen los fundamentos y los aplican de manera apropiada.

Veremos en las siguientes entradas los procedimientos utilizados para el manejo de las diferentes tasas de interés (periódicas, nominales y efectivas) y como volverse experto con unos cálculos simples de multiplicación y división (para conversión de tasas periódicas a nominales y viceversa) y un cálculo un poco mas complejo a través de exponenciales para el manejo de tasas efectivas desde periódicas vencidas y viceversa (tasas periódicas vencidas desde tasas efectivas).

Tasas de Interés (Introducción)

El concepto de tasas de interés es de suma importancia en las finanzas y está presente en todos los ámbitos económicos, de negocios y especialmente en el mundo financiero porque es un indicador que representa ni más ni menos, que el valor del dinero en el tiempo y éste es fundamental en todas las transacciones de negocios y financieras alrededor del planeta (inversión, financiación son algunos).

Enunciamos algunos ejemplos de su presencia en nuestra vida diaria, piensen en ello cada vez que lean lo que ocurre en diferentes mercados y economías alrededor del mundo. La Reserva Federal (Estados Unidos), El Banco Central Europeo o el Banco de la República de Colombia son bancos centrales que deben decidir si mantener, disminuir o incrementar la tasa de interés de referencia en sus respectivas economías. No hay momento en la actividad economía de un país que se comente con más periodicidad e impacto que una decisión de esta naturaleza. Incluso algunas de estas decisiones repercuten mercados globales como es el caso de los dos primeros bancos citados.

Cuando usted solicite un crédito para compra de vivienda en Colombia (modalidad de crédito hipotecario) siempre le referirán la tasa de interés vigente (tasa fija para crédito en pesos (COP) o la Unidad de Valor Real - UVR + puntos adicionales de interés).

Una mayoría creciente de personas en la población económicamente activa de un país tienen tarjetas de crédito y reciben mensualmente sus extractos para el pago de sus cuotas donde especifican los plazos de las compras y la tasa de interés aplicable, denominada tasa de consumo aplicada.

La tasa de inflación (IPC Índice de Precios al Consumidor) que reportan mensualmente las autoridades de todos los países es otra expresión de las tasas de interés. Basta recordar que muchos títulos de inversión soberana (deuda emitida por los países) está indexada (atada o dependiente de) a la inflación.

Cuando se invierte en un título como un Certificado de Depósito a Término (CDT) en el sistema financiero colombiano, en su contenido están expresadas la tasa efectiva (se presume anual) y la tasa nominal equivalente acorde con el plazo de la inversión (182 días por ejemplo).

Los proyectos de inversión privados siempre buscan una tasa de rentabilidad que representa el retorno de esa inversión riesgosa y por ello la referencia a la tasa de interés mínima que espera recibir el inversionista (tasa de interés de oportunidad - TIO).

El costo de inversión de los accionistas de una empresa siempre se representa en función de una tasa de interés (costo de capital) y en ello interviene la evaluación del riesgo, el plazo, las condiciones macroeconómicas de un país, el desarrollo sectorial y diversos factores estratégicos que finalmente concurren en la tasa mínima exigida por los inversionistas.

Hay tasas de referencia del sistema financiero colombiano como la DTF (Depósito a Término Fijo, UVR (unidad de valor real) utilizada para los créditos hipotecarios, Tasa Interbancaria TIB, la IBR ó Indicador Bancario de Referencia que son utilizadas por nuestro sistema financiero, o las tasas PRIME (Estados Unidos), LIBOR (tasa preferencial en el mercado financiero europeo) influenciadas por lo que ocurre a nivel internacional, para otorgar créditos en países europeos o en otros países.

Los mercados financieros internacionales (todos aquellos donde se transan los activos financieros como las acciones, los bonos, monedas, materias primas conocidas como commodities, entre muchos otros, también reportan una tasa de interés de rentabilidad a la cual crecen o se desploman los valores de estos activos dadas las condiciones del mercado y ello repercute en todo el sistema económico y financiero mundial.

Las tasas de crecimiento de las economías medidas por su PIB (Producto Interno Bruto ó GPI Gross Product Index por sus siglas en inglés) hace referencia también al uso de tasas que repercuten sobre las decisiones de inversión y reorientación de las políticas públicas y con ello de todo el sistema económico de los diversos países y bloques comerciales.

Como lo podemos evidenciar en los ejemplos anteriores, no hay actividad económica o financiera donde no esté presente el concepto de tasa de interés y su estudio es base de una sólida formación financiera, porque de ello dependen las decisiones más importantes en los negocios (financiamiento, inversión y operación) y de la actividad económica en general en el ámbito público (gubernamental) y privado.

Las tasas que hemos puesto de ejemplo son determinadas por las condiciones en los mercados en que operan y su uso extendido a mercados globales nos obligan a entender cómo se expresan y pueden compararse con las tasas del mercado doméstico. Toda esta información sobre las tasas de interés no debe generar confusiones dado que todas se expresan de manera similar de acuerdo con la periodicidad en que son expresadas (periódicas, nominales o efectivas).

Sobre el conocimiento de las tasas de interés, su expresión periódica y las equivalencias nos ocuparemos en los siguientes blogs.