Tasas de interés V - Tasas efectivas.

Las tasas efectivas además de ser una reexpresión de las tasas periódicas vencidas, permiten calcular la rentabilidad anual de una inversión  con lo cual se expresa de una manera precisa el costo del dinero y pueden hacerse las comparaciones de los diferentes productos del mercado. Las instituciones financieras están obligadas a publicar de forma periódica las tasas efectivas de sus diferentes productos tanto de captación como de colocación (tasas pasivas y activas) para que el público en general pueda tomar decisiones. 

Siempre que se acumula crecimiento, estaremos ante las tasas efectivas que calculan el comportamiento de ese crecimiento que se genera de manera acumulativa. Veamos por ejemplo la inflación, el crecimiento en precios se genera sobre los precios del período anterior, mensual por conveniencia en la medición. El siguiente mes, el crecimiento de precios se calcula sobre los precios del mes anterior, con lo cual tendremos dos meses acumulados de inflación y así sucesivamente hasta tener la inflación anual que mide el crecimiento acumulado de los precios de bienes y servicios de una economía en particular.

Así como medimos la inflación, podemos tener en un período de tiempo las mediciones en inversiones en portafolio, el crecimiento de población, incremento del salario mínimo, crecimientos en ventas, devaluaciones o revaluaciones de monedas, las cuales se expresan en tasas efectivas anuales para mayor comprensión de los interesados. En particular, las tasas de interés que se publican en el mercado financiero colombiano (Tasa Interbancaria, DTF, inflación anual y año corrido, Tasa de Intervención del Banco Central) y los mercados internacionales (Prime, LIBOR, tasa de intervención de la FED y cualquier banco central, emisión de deuda como bonos, rentabilidades de otros activos financieros como acciones y commodities) se expresan a través de tasas efectivas. 

Por lo tanto el conocimiento y uso de tasas efectivas es un imperativo profesional dado su uso permanente en los negocios y la economía, en los diversos proyectos disciplinares, en áreas tan complejas como la epidemiología, demografía, estadística o la física, pero también, es una necesidad en los individuos para tomar las mejores decisiones desde el punto de vista de sus finanzas personales como lo veremos en diferentes ejemplos en esta entrada.

Las tasas efectivas permiten determinar, por ejemplo, el valor acumulado por una inversión cuando esta se coloca de manera consecutiva, período tras período, a una tasa de rentabilidad periódica determinada, lo que permite acumular cada período el capital con el interés generado y con ello acumular más capital (se dice que se capitaliza el interés de esta manera) y que se coloca de nuevo otro periodo para continuar acumulando nuevos intereses sobre el capital acumulado que de nuevo se capitalizan y se reinvierten una y otra vez. Este es el lado del inversionista, pero se puede ver desde el lado de la entidad financiera que capta los fondos, esta responsable por el pago de intereses y el principal (capital) al vencimiento, pero a su vez esta entidad una vez recibe los fondos, tiene la oportunidad de colocarlos en productos financieros (créditos en general, tarjeta de crédito, hipotecas, etc) con lo cual acumula intereses que le generarán su propia tasa de rentabilidad efectiva. 

Los bancos y el sector financiero en general a través de su portafolio de productos, son expertos en colocar dinero en nuevos créditos que recuperan a través del pago de cuotas periódicas (capital amortizado más el interés sobre la deuda) que luego colocan en nuevos créditos a través de diversos canales comerciales (préstamos comerciales, créditos hipotecarios, tarjetas de crédito, libranzas, créditos corporativos entre otros) con lo cual capitalizan permanentemente el interés que reciben de sus producto en el mercado y ello les permite acumular más capital. En el siguiente ejemplo cómo se acumula el interés periodo tras periodo con un análisis sencillo que nos permite un mejor acercamiento conceptual al tema de las tasas efectivas.

Veamos a través de un proceso sencillo como llegar al modelo conceptual para el cálculo de las tasas efectivas:

Supongamos que un inversionista tiene una suma de dinero (capital inicial que denominaremos $K) que desea colocar a una tasa periódica de interés i% (presumimos que no hay riesgo y que se recibirán el interés y el capital intactos al final de cada período). 

Al finalizar el primer periodo de inversión tendrá:

El capital inicial $K 

Los intereses generados equivalentes a $K * i% (capital por la tasa de interés).

Si sumamos capital e interés tendremos: Total Disponible :$K+$K+i%

Si observamos esta ecuación, tenemos un factor común (aquí es importante recordar el tema de factorización visto en el texto "Álgebra de A. Baldor" durante el bachillerato, entonces:

$K + $K+i% = $K * (1+ i%)

En $K + $K * (1 + i%) factorizamos $K como común elemento en ambos sumandos.

Pasemos ahora al concepto de reinversión incluyendo la capitalización de intereses:

Si se reinvierte por un período adicional el total acumulado al final del primer periódo que denominaremos capital acumulado calculado como $K * (1+i%) tendremos lo siguiente al finalizar el segundo período:

Capital : ($K * (1+i%))

Interés : ($K * (1+i%)) * i% (capital invertido un período por la tasa de interés del periódo)

Total acumulado al final del segundo periodo será entonces:

Capital + interés = ($K * (1+i%)) + ($K * (1+i%)) * i%.

De nuevo aplicamos la factorización y vemos un elemento que se repite en ambos sumandos que es $K * (1+i%), por lo tanto:

($K * (1+i%)) + ($K * (1+i%)) * i% = $K * (1 + i%) * (1 + i%)

Aquí tenemos una multiplicación de los factores iguales (1 + i%) * (1 + i%) lo que es equivalente a (1 + i%)^2 (base (1+i%) elevado al cuadrado).

Si efectuamos este procedimiento periodo tras periodo acumulando los intereses (además de factorizar los términos) y colocando el nuevo capital a la tasa de interés de referencia i%, tendremos la siguiente secuencia:

Lo anterior significa que el valor total acumulado al invertir una suma de dinero K durante N periodos a una tasa de interés periódica i% es igual a :

Total acumulado: K*(1+In%)^(n) 

Donde:

K : Capital inicial período 0.

In%: Tasa de interés i% vencido del período.

n: número de períodos de capitalización

Es lo mismo que decir entonces que el valor futuro (VF ó capital acumulado) de una suma de dinero presente (VP ó K) reinvertida capitalizando los intereses, a una tasa periódica i%, durante n períodos es equivalente a:

VF = VP*(1+In%)^(n)

Esta expresión indica que la acumulación de intereses que se logra en el interés compuesto acumula una suma de dinero mayor porque los intereses se acumulan y reinvierten nuevamente con el capital formado y con ello las opciones de acumular más dinero al final son mayores.

La fórmula de VF puede reexpresarse para calcular el valor presente de una suma de dinero futura que ha sido acumulada durante n períodos a una tasa de interés periódica N, de la siguiente manera:

VP = VF  / (1+In%)^(n)

Las expresiones para valor futuro VF y valor presente VP son muy importantes en finanzas por cuanto permiten calcular el valor del dinero a través del tiempo. Cualquier suma de dinero presente (VP) puede reexpresarse en un tiempo futuro (VF) si conocemos la tasa de interés aplicable y el tiempo transcurrido. Así mismo, podemos conocer el valor presente (VP) de una suma futura de dinero (VF) si tenemos la información de la tasa de interés del período y el número de períodos transcurridos. 

Dicho esto, podemos afirmar que no es lo mismo tener hoy disponible la suma de un millón de pesos colombianos ($COP1.000.000) que tener esa misma suma disponible al final de un año, porque es de sentido común que prefiero tener este dinero ahora y no dentro de un año (el solo efecto de la inflación desvaloriza el dinero). De igual forma, preferiría esperar a tener al final de un año la suma de un millón de pesos y no recibir ahora $500.000 (mis opciones de inversión no me permiten duplicar este capital en un año). Esto y lo que hemos visto es lo que se afirma como el costo del dinero a través del tiempo y solo podemos hacer comparaciones entre dineros en diferentes momentos del tiempo a través de las tasas de interés.  

Para un crédito es fácil porque la tasa de interés nos la impone el banco. Pero cuando se trata de un inversionista que coloca su dinero en un activo, por ejemplo una participación accionaria en una compañía o un activo con posibilidades de valorizarse, esa tasa de interés que esperaría recibir por su inversión, durante un tiempo que puede incluso ser de años, puede denominarse como la tasa de interés de oportunidad (TIO en el lenguaje financiero) y su cálculo su estimación es un tema de estudio de finanzas avanzadas.

Volvamos al valor futuro nuevamente para utilizarlo con el fin de calcular el cambio de valor de la tasa de interés a medida que transcurre la reinversión de utilidades para lograr acumular más capital y con ello explicar en detalle el cálculo de tasas efectivas y su conexión con las tasas periódicas.

Si tenemos el valor futuro como lo habíamos expresado:

VF = VP*(1+In%)^(n)

Vamos a suponer que ahora la inversión será de una unidad monetaria (puede tratarse de pesos colombianos ($COP), euros ($EUR), dólares americanos ($USD) o cualquier otra moneda que represente, la cual pondremos a una tasa de interés periódica vencida de i% durante N períodos.

De esta manera podemos reexpresar el VF como la unidad monetaria que hemos invertido más todo el interés acumulado que denominamos Ie (interés efectivo) durante los N períodos así:

(1 + Ie) = 1 *(1+In%)^(n)

Lo cual es equivalente a:

(1 + Ie) = (1 + In%)^(n)

Lo cual podemos reexpresar como :

Ie = (1 + In%)^(n) - 1

Al calcular el interés efectivo Ie que gana una unidad monetaria basado en la tasa de interés i% y el número de períodos capitalizados N, podemos aplicarlos para el total de la suma de dinero invertido. Por ejemplo, el interés acumulado al invertir una suma de dinero a una tasa de interés del 3% mensual durante doce meses, la tasa de interés acumulado, esto es el interés efectivo será:

(1+3%)^(12) -1 = 42,58%

Si la inversión total (VP) ha sido de $1.000.000, la suma acumulada (VF) será de $1.000.000 * (1 + 42,48%) = $1.425.800, lo cual hace más fácil el uso de tasas de interés que se capitalizan para calcular cualquier suma de dinero invertida en estas condiciones.

Podemos utilizar la expresión con la cual calculamos la tasa de interés efectiva (la cual se calcula con la tasa de interés periódica y el número de períodos capitalizados N) para calcular precisamente la tasa de interés periódica, así que la tasa de interés periódica, conocida la tasa de interés efectiva será :

In% = (1 + Ie%)^(1/n) - 1

Lo que indica que si tenemos la tasa efectiva sobre la cual tenemos estimado ganar en una inversión determinada o tendremos que pagar por un crédito, podremos calcular la tasa periódica equivalente.

Tomando el ejemplo anterior, cuál será la tasa de interés mensual equivalente a una tasa de interés efectiva anual del 42,58% ? En este caso Ie (interés efectivo) es del 42,58%, N es 12 y la tasa de interés periódica será:

Imv = (1+42,58%)^(1/12) – 1 = 3% (mes vencido)

Recordemos, por la construcción que hicimos, que las tasas de interés efectivas se calculan a partir de tasas periódicas vencidas, en este caso la tasa mensual calculada es vencida, esto es mes vencida dado que el cálculo del dinero acumulado siempre se realizó al final de cada período. Normalmente, las tasas efectivas se consideran anuales, pero si el periodo de capitalización es mayor a un año, también se trata de tasas efectivas pero debe precisarse el periodo de tiempo transcurrido, por ejemplo 18 meses. Recordemos que la tasa de interés efectiva se estima al "capitalizar y reinvertir por varios períodos" por lo que cualquier número de períodos puede trabajarse. Por convención general, las tasas efectivas se presumen anuales, salvo que se indique lo contrario.

Ejercicios resueltos (suponga año de 360 días):

1. Cuál es la tasa de interés efectiva de una inversión colocada al 1,2% mes vencido?

Ie = (1+1,2%)^(12) – 1 = 15,3895%

2. Cuál es la tasa de interés efectivo de una inversión colocada al 2,7% trimestre vencido?

Ie = (1+2,7%)^(4) – 1 = 11,2453% (un trimestre capitaliza 4 periodos por año).

3. Cuál es la tasa de interés trimestral equivalente a una tasa de interés efectiva del 27%?

Itv = (1+27%)^(1/4) – 1 = 6,1576% (un trimestre capitaliza 4 periodos por año).

4. Cuál es la tasa efectiva correspondiente a una tasa del 1,15% MV?

Ie = (1+1,15%)^(12)-1 = 14,70719%

5. Cuál es la tasa efectiva correspondiente a una tasa del 6,89% TV?

Ie = (1+6,89%)^(4)-1 = 30,54141%

6. Cual es la tasa MV equivalente a una tasa del 5,67% SA?

Recuerde que cuando hay cambio de período, es necesario utilizar el procedimiento de las tasas efectivas y para ello necesita una tasa periódica vencida. 

El procedimiento debe ser el siguiente: SA-SV-MV

La tasa periódica vencida más cercana de SA es por supuesto SV.

SV = SA/(1-SA) = 5,67%/(1-5,67%)=6,01081% SV

Una tasa mensual capitaliza 6 veces en un semestre, SV = (1+ MV%)^(6)-1, entonces:

MV = (1  + SV)^(1/6)-1 = (1 + 6,01081%)^(1/6)-1 = 0,97760%

7. Cuál es la tasa MV equivalente a una tasa del 21% N237DA (nominal 237 días anticipados).

El procedimiento debe ser el siguiente: N237DA - 237DA - 237DV - DV - MV

La tasa nominal debe descomponerse y para hacerlo debe dividirse por su período natural que es (360/237), entonces:

237DA = N237DA/(360/237) = 21% / (360/237) = 13,825% 237DA

Para cambiar de período a MV es necesario hacerlo entre tasas anticipadas, por lo que necesitamos la tasa vencida más cercana a 237DA que es 237DV, así:

237DV = 237DA / (1 - 237DA) = 13,825% / (1 - 13,825%) = 16,04294% 237DV

1 día capitaliza 237 veces en un período de 237 días, entonces: 

DV = (1 + 237DV)^(1/237) - 1 = (1 + 16,04294%)^(1/237) - 1 = 0,06280% DV 

MV = (1 + 0,06280%)^(30) - 1 = 1,90127%

Puede ahorrarse tiempo utilizando las vencidas para pasar directamente de 237DV a MV así:

MV = (1 + 237DV)^(30/237)= (1 + 16,04294%)^(30/237) -1 = 1,90127% 

8. Cual es la tasa de interés equivalente NMA a una tasa del 27.67% N89DA?

El procedimiento debe ser, buscando tasas periódicas vencidas, el siguiente:

N89DA - 89DA - 89DV - DV - MV - MA - NMA 

ó saltándose desde vencidas así: 89DV - MV - MA - NMA, veamos :

89DA = N89DA / (360/89) = 27,67% / (360/89) = 6,8406% 89DA

89DV = 89DA / (1-89DA) = 6,8406% / (1 - 6,8406%) = 7,3429% 89DV

DV = (1+89DV)^(1/89)-1 = (1+7,3429%)^(1/89)-1 = 0,0796% DV

MV = (1+DV)^(30)-1 = (1+,0796%)^(30)-1 = 2,4172% MV

MA = MV / (1+MV) = 2,4172% / (1+2,4172%) = 2,3602% MA

NMA = MA * 12 = 2,3602% * 12 = 28,3223%

Si hacemos el paso corto de  89DV - MV - MA - NMA:

MV = (1+89DV)^(30/89) - 1 = (1+7,3429%)^(30/89)-1= 2,4172% MV

MA = MV / (1+MV) = 2,4172% / (1+2,4172%) = 2,3602% MA

NMA = MA * 12 = 2,3602% * 12 = 28,3223%

9. Cuál es la tasa equivalente N200DA a una tasa del 28.8976% N400DA?

Procedimiento de cálculo: N400DA - 400DA - 400DV - 200DV - 200DA - N200DA, lo cual nos permite ahorrar el paso por DV (Día vencido), veamos:

400DA = N400DA / (360/400) = 28,8976%/(360/400)=32,10844% 400DA

400DV = 400DA /(1- 400DA) = 32,10844%/(1 - 32,10844%)=47,29372% 400DV

200DV = (1+400DV)^(200/400)-1=(1+47,29372%)^(200/400) - 1 = 21,36463% 200DV

200DA = 200DV / (1 + 200DV) = 21,36463%/ (1+21,36463%)=17,60367% 200DA

N200DA = 200DA * (360/200) = 17,60367% * (360/200)=31,68660% N200DA 

10. Cuál es la tasa equivalente EA a una tasa diaria del 0.06%DV? ¿Cual es la lasa TV? ¿Cuál es la tasa SV? ¿Cuál es la tasa 198DV? ¿Cuál es la tasa 89DA?¿Cuál es la tasa 180DA?

EA = (1+DV)^(360)-1 = (1+0,06%)^(360)-1= 24,1022% EA

SV= (1+DV)^(180)-1=(1+0,06%)^(180)-1=11,40117% SV

SV = (1+EA)^(1/2)-1= (1+24,1022%)^(1/2)-1= 11,40117% SV

198DV =(1+DV)^(198)-1=(1+0,06%)^(198)-1= 12,61045% 189DV

189DV =(1+EA) ^(189/360)-1 = (1+24,1022%)^(189/360)-1 = 12,61045% 189DV

189DV =(1+SV)^(189/180)-1 = (1+11,40117%)^(189/180)-1=12,61045% 189DV

89DV = (1+DV)^(89)-1 = (1+0,06%)^(89)-1= 5,48346% 89DV

89DA = 89DV/(1+89DV) = 5,48346%/(1+5,48346%)=5,19841% 89DA

Trate de calcular 89DV directamente desde EA, SV, 189DV.

180DV = (1+EA)^(180/360)-1= (1+24,1022%)^(180/360)-1= 11,40117% 180DV

180DA = 180DV /(1+180DV) = 11,40117%/(1+11,40117%) = 10,23433% 180DA.

Todas estas tasas son equivalentes a la tasa diaria de 0,06%.

En las próximas entradas a este blog, entregaremos ejercicios para desarrollar con sus respuestas y presentaremos múltiples aplicaciones de las tasas efectivas en diversas situaciones que se presentan en el ámbito empresarial y financiero.

Serie 2 de ejercicios tasas nominales

 Adjunto encontrará una tabla con la tasa dada y las tasas solicitadas. Cada tasa dada es independiente de las demás dadas, no son equivalentes entre sí. Debe hacer los cálculos para cada caso. Debe darse cuenta que en cada línea nos mantenemos en el mismo período, porque ese es el tránsito entre tasas periódicas y nominales. De nuevo insistimos que si debe cambiar de período, deberá trabajar en el modelo de tasas efectivas que veremos en las siguientes entradas a este blog.

Ejercicios:

Para que pueda comparar si su procedimiento fue correcto, a continuación encontrará las respuestas. Si tiene dudas, debe volver a las entradas de tasas nominales y revisar nuevamente los ejercicios resueltos y especialmente los cuidados que deben tenerse en el momento de trabajar con equivalencias entre tasas periódicas (anticipadas o vencidas) y sus correspondientes tasas nominales.

Si desea tener más ejercicios de tasas nominales para sus clases, quices o parciales, por favor escriba al autor de este blog. 

Serie ejercicios resueltos tasas nominales

Como lo hemos descrito en las entradas a este blog sobre las tasas nominales, estas son una reexpresión anual de las tasas periódicas, sean estas anticipadas o vencidas. Presentaremos ejercicios para calcular las tasas nominales dada una tasa periódica o las tasas periódicas dada una tasa nominal. 

Ejercicios: Calcule las tasas indicadas a partir de la tasa dada.

1.

Solución: 36% es una tasa nominal (se presume anual) y su período es mes vencido. Lo único que podemos hacer con esta tasa para "descomponerla" es dividirla por su período natural, que es mensual, así que NMV/12=MV, entonces 36%/12=3% que corresponde a la tasa mensual (vencida). 

Ahora podemos calcular la tasa equivalente mes anticipada (MA) de la siguiente manera:

MA= MV/(1+MV) = 3%/(1+3%) = 2,9126% MA

La tasa nominal equivalente será:

MA*12 = NMA = 2,9126% * 12 = 34,9515% NMA

Ya podemos completar la información completa así:

2.

NTV = TV * 4 = 2,2% * 4 = 8,8% NTV

TA = TV / (1 + TV) = 2,2% / (1 + 2,2%) = 2,1526% TA

NTA = TA * 4 = 2,1526% * 4 = 8,6106% NTA

La información de la solución completa es la siguiente:

Recuerde que no es posible calcular, con los métodos vistos, tasas nominales anticipadas desde sus tasas nominales vencidas o lo contrario. Para hacerlo, deben calcularse las tasas periódicas y luego las nominales como se hizo en los ejercicios preliminares.

3. 

NSA = SA * 2 = 7,4% * 2 = 14,80% NSA

SV = SA / (1-SA) = 7,4% / (1 - 7,4%) = 7,9914% SV (mayor que la tasa anticipada)

NSV = SV * 2 = 15,9827% NSV

La información de la solución completa es la siguiente:

4.

80DA = N80DA / (360/80) = 27% / (360/80) = 6% 80DA. En este caso, (360/80) es el número de períodos de 80 días que hay en un año de 360 días (4,5 periodos).

80DV = 80DA /(1 - 80DA) = 6% /(1 - 6%) = 6,3830% 80DV

N80DV = 80DV * (360/80) = 6,3830% * (360/80) = 28,7234%

La información de la solución completa es la siguiente:

5.

430DA = N430DA / (360/430) = 43,22% / (360/430) = 51,6239% 430DA. Recuerde que la tasa nominal es anual, por ello la tasa de 430 días es mayor que la nominal porque corresponde a un período mayor de un año. De otra parte, dividir por (360/430) es correcto por cuanto genera valor menor que uno, lo que corresponde al número de veces de un período de 430 días en un año de 360 días.

430DV = 430DA /(1-430DA) = 51,6239% / (1 - 51,6239%) = 106,71,36% (Es una tasa alta, pero recuerde que se trata de interés de más de un año (1 año, dos meses y 10 días).

N430DV = 430DV * (360/430) = 106,7136% * (360/430) = 89,3416%. En esta caso la tasa nominal corresponde a un año, por ello es menor que la tasa periódica que es mayor que un año.

La solución completa es la siguiente:

Recuerden que las tasas nominales y periodicas tienen una relación lineal en sus equivalencias en su mismo período. Si desde una tasa nominal, se requiere calcular una tasa que corresponde a otro período, será necesario utilizar el procedimiento de tasas efectivas el cual se verá en las siguientes entrada a este blog.

Series de ejercicios tasas nominales

1. Cual es la tasa equivalente nominal de una tasa del 1% mensual? R:12%NM (nominal mensual)

2. Cuál es la tasa equivalente nominal de una tasa del 1% mes anticipado? R:12% NMA (nominal mes anticipado)

3. Cual es la tasa equivalente nominal de una tasa del 2,5% trimestral? R: 10% NT (nominal trimestral)

4. Cuál es la tasa equivalente nominal de una tasa del 2,5% trimestre anticipado R: 10% NTA (nominal trimestre anticipado).

Aquí es importante señalar que no son equivalentes (y menos iguales) las tasas de 1% mensual y 1% mensual anticipado, al igual que no lo son 2,5% trimestral que 2,5% trimestre anticipado. Si debo recibir intereses, tiene sentido que prefiera recibir el 1% mes anticipado y no 1% mes vencido, es la misma suma pero la recibo un mes antes, cierto? Igual con la tasa del 2,5%, prefiero recibir los intereses trimestre anticipado y no trimestre vencido. Ahora, si debo pagar intereses, prefiero pagar una tasa del 2,5% trimestre vencido y no del 2,5% (igual suma de dinero) al inicio del trimestre. Aclaremos entonces las tasas resolviendo los siguientes ejercicios y luego comparando respuestas.

5. Cual es la tasa equivalente mes anticipado de una tasa del 1% mes vencido? Cual es su tasa nominal, NMA? R: 0,99010% MA; 11,88119% NMA

6. Cual es la tasa equivalente mensual (vencido se presume) de una tasa mensual del 1% mes anticipado MA? Cuál es la tasa nominal equivalente, NMV? R: 1,01010%; 12,12121% NMV

7. Cuál es la tasa equivalente trimestre anticipado de una tasa del 2,5% trimestral? Cuál es la tasa equivalente nominal trimestre anticipado, NTA? R: 2,43902%; 9,75610%

8. Cuál es la tasa equivalente trimestral (se supone vencido) de una tasa del 2,5% trimestre anticipado? Cuál es la tasa nominal, NTV? R: 2,56410%; 10,25641%

9. Cuál es la tasa equivalente mensual de una tasa nominal mensual NM del 16% R: 1,33333%

10 Cuál es la tasa equivalente mensual anticipada (MA) de una tasa nominal mes anticipada NMA del 14%? R: 1,16667%

11. Cual es la tasa equivalente mensual (se supone vencida) de una tasa de 17% nominal mensual anticipada? Sugerencia: usar la secuencia NMA - MA - MV. R: 1,43702%

12 Cuál es la tasa equivalente mensual anticipada de una tasa del 19% nominal mensual? R: 1,55865%+

13. Cuál es la tasa equivalente semestre anticipada de una tasa del 11% nominal semestre vencida, NSV%? R: 5,21327.

14. Cuál es la tasa equivalente nominal trimestre anticipada de una tasa del 20% nominal trimestre vencida? Se sugiere usar la secuencia NTV - TV - TA - NTA. R: 16,66667%

15. Cuál es la tasa equivalente nominal trimestral (se supone vencida) de una tasa del 18% nominal trimestre anticipada? R: 21,95122%

16. Cuál es la tasa nominal equivalente a una tasa del 1,22% 24 días (vencidos)? Sugerencia: Utilice la fracción correspondiente a un año de 360 días, (360/24). R: 18,30%

17. Cuál es la tasa nominal equivalente a una tasa del 6,9% 225 días? Sugerencia; Utilice la fracción correspondiente a un año de 360 días, (360/225). R: 11,040%

18. Cuál es la tasa nominal equivalente a una tasa de 36% 400 días vencidos? Sugerencia: Utilice la fracción correspondiente a un año de 360 días, (360/400). R: 32,40%

19. Cuál es la tasa 22 días (vencidos) equivalente a una tasa nominal 22 días del 18% (N22DV)? Sugerencia: Utilice la fracción correspondiente a una año de 360 días, (360/22). R: 1,10%

20. Cuál es la tasa 45 días anticipada equivalente a una tasa del 30% nominal 45 días, N45DV? R:3,61446%

22. Cuál es la tasa nominal 160 días anticipados equivalente a una tasa de 32,58% nominal 160 días vencidos, N160DV? Sugerencia: usar la secuencia N160DV - 160 DV - 160 DA - 160DV. R:28,45912%

23. Cuál es la tasa nominal 20 días (vencidos como hemos indicado si no se menciona) equivalente a una tasa de 29,67% nominal 20 días anticipados, N20DA? Sugerencia: Utilice la secuencia N20DA - 20DA - 20DV - N20DV. R: 30,16726%

24. Cuál es la tasa nominal equivalente a una tasa del 40% 400 días vencidos? R:36%

25. Cuál es la tasa nominal equivalente a una tasa del 0,041667% diaria? R:15%.

26. He abierto un certificado a término fijo por valor de $COP50.000.000 (cincuenta millones de pesos colombianos), plazo de 210 días con una tasa nominal incluida en el documento del 3,12% (tasa nominal facial), cuánto recibiré en intereses al finalizar el plazo? Sugerencia: estimar la tasa periódica primero (210DV) y luego calcule los intereses sobre el valor invertido. R: $910.000

27. El banco central ha informado la tasa DTF vigente para esta semana del 1,8094% NTA, cuál es la tasa equivalente TV y NTV? R: 1,81757%; 0,45439%

28. Cuál es la tasa nominal mensual equivalente de una tasa del 12% NTA? R:12,371%

29. Poseo un CDT por valor de $COP12.000.000 (doce millones de pesos colombianos) con plazo de 450 días que están próximos a vencerse. En el documento figura una tasa nominal (facial) del 6,90%. Cuánto recibiré en intereses antes de impuestos en la fecha de vencimiento? R: $1,035,000

30. Cuál es la tasa equivalente mensual de una tasa del 9% NTA? R: Lo visto hasta ahora no me permite calcular la tasa mensual, solo podría calcular la tasa trimestral anticipada (2,25% TA), la tasa trimestral vencida (2,30179% TV) o la tasa nominal trimestre vencida (9,20716%). Como hay cambio de período (trimestral a mensual), el procedimiento será presentado en la serie de tasas de interés efectivas en próximas entradas a este blog. No debe dividirse la tasa trimestral por tres (3) para obtener tasas mensuales, es una solución incorrecta por decir lo menos. Recuerde que las únicas tasas que pueden dividirse son las tasas nominales y únicamente por su periódo natural como lo hemos expuesto en las entradas a este blog. 

Tasas de interés IV, tasas nominales

Las tasas nominales son una reexpresión de las tasas periódicas y se calculan como multiplicando la tasa periódica (anticipada o vencida) por el número de periodos en el año y con ello, la nueva tasa debe indicarse como nominal anual + período o simplemente nominal + período. Así, podremos tener una tasa nominal mensual (se supone vencido) que sería la suma de 12 periodos de una tasa mensual vencida; nominal trimestre anticipado, que corresponde a la suma de cuatro períodos de una tasa periódica trimestral anticipada; una tasa nominal semestral anticipada, que corresponde a la suma de dos períodos de una tasa semestral anticipada, etc. 

Entonces, siempre que especifiquemos que una tasa es nominal, es necesario incluir el período lo cual significa que una tasa nominal solamente se podrá dividir por el periodo indicado para obtener la tasa periódica.

Expondré algunos ejemplos:

1. Una tasa mensual del 1,0% (mv) será equivalente a una tasa nominal mensual del 12% (1%*12 períodos mensuales por año = 12%, NMV ó NM porque se supode vencido).

2. Una tasa del 2,5% trimestral (tv) será equivalente al 10% (2,5%*4 periodos trimestrales por año = 10%NTV).

3. Una tasa del 6% semestral (sv) será equivalente el 12% (6% * 2 semestres por año = 12%NSV).

4. Una tasa del 2,5% trimestre anticipado (ta) será equivalente al 10% (2,5%*4 periodos trimestrales anticipados por año = 10%NTA).

5. Una tasa del 6% semestre anticipado (sa) será equivalente el 12% (6% * 2 semestres anticipados por año = 12%NSV).

6. Una tasa del 7% correspondiente a 42 días vencidos será equivalente a 60% (7%* 360/42 = 60% N42DV).

Veamos algunos ejemplos del proceso completo desde las tasas nominales (anuales).

Ejemplo 1

Suponga que usted recibe la información de su banco sobre la tasa aplicable a un crédito que será del 12,1204% NATV (o simplemente NTV) – nominal anual trimestre vencido (o nominal trimestral) y usted quiere confirmar la tasa aplicable por trimestre (se evidencia por la nomenclatura que es período vencido).

Solución:

Sabemos ya que las tasas nominales (anuales) son una reexpresión de las tasas periódicas, en este caso la tasa dada NATV (nominal anual trimestre vencido) es la tasa TV (trimestre vencido) multiplicada por el número de períodos (trimestres) al año, esto es cuatro (4). Así que lo único que podemos hacer con esta tasa anual es dividirla por su periodo natural que es cuatro (4). Esto solo aplica a tasas nominales (se presumen anuales siempre).

TV = NATV/4= 12,1204%/4= 3,0301% TV

Si quisiéramos calcular a partir de esta última tasa su equivalente TA (trimestre anticipado) utilizamos la formula para convertir tasas vencidas a anticipadas y tenemos:

Tasa TA= 3,0301%/(1+3,0301%)=2,9410%

Ahora podemos incluso calcular la tasa equivalente NATA (nominal trimestre anticipado), esto es :

NATA= TA*4 = 2,9410%*4 = 11,7639%

Importante recalcar que para calcular la nominal anticipada desde la nominal vencida, primero obtuvimos de la nominal (NTV) su única tasa periódica (TV) y a partir de esta su anticipada (TA). Luego procedimos a calcular la tasa nominal trimestre anticipada (NTA). 

Ahora tenemos el mapa completo de esta familia de tasas así:

Tasa Periódica - Tasa Nominal (equivalente)
TV 3,0301%     12,1204% NATV
TA 2,9410%     11,7639% NATA

Como puede observarse, las tasas periódicas vencidas (en este caso trimestral) son siempre mayores que sus equivalentes anticipadas (trimestre anticipada). Lo mismo ocurre entre las tasas nominales anuales, la nominal trimestre vencida es mayor que su equivalente nominal trimestre anticipada.

Algo que comúnmente se cree, es que podemos calcular las tasas nominales vencidas desde sus equivalentes nominales anticipadas o viceversa, así que hagamos el cálculo para confirmar este error común:

NATV= NATA/(1-NATA)= 11,76,39%/(1-11,7639%)= 13,3324% (error)

NATA= NATV((1+NATV)=12,1204%/(1+12,1204%)= 10,8182% (error)

Ninguna tasa nominal anual podrá dividirse por un número de periodo diferente con la excusa que estamos buscando una tasa de otro período y las nominales “son un buen camino”, lo cual solo es cierto para períodos equivalentes. Veremos más adelante como podemos hacer esto cuando estudiemos el tema de las tasas efectivas.

Hasta ahora este es el mapa de las tasas que hemos estudiado:

Ahora adicionamos otros ejemplos con la nomenclatura:

Como el lector podrá revisarlo, hasta ahora tenemos un tránsito lineal (mismo período) entre las equivalencias de las tasas, lo que significa que pasamos de periódica (anticipada o vencida) a su tasa nominal anual periódica equivalente (anticipada o vencida). Lo que es igual con varios ejemplos:

1. Para una tasa mensual (MV se supone vencida) podemos calcular su equivalente anual y dado que son doce meses por año, tenemos (MV*12 = Nominal Anual Mensual Vencida - NAMV) y podemos transitar de periódicas a nominales o lo contrario (MV a NAMV y MV). También podemos extender el cálculo a sus equivalentes anuales vencidas o anticipadas MV a NAMV de nuevo a MV, ahora MA y luego NAMA, de nuevo MA a MV y por último NAMV.

2. Para una tasa Nominal Anual Trimestre Vencida (NATV) lo único que podemos hacer es calcular su equivalente periódica, esto es dividir por su período natural que es cuatro (4 trimestres por año). NATV aTV : (TV= NATV/4). También podemos extender el cálculo a sus equivalentes anuales anticipadas o vencidas con la siguiente secuencia : (NATV - TV -TA - NATA - TA - TV - NATV)

3. Dada una tasa Nominal Anual Semestre Anticipada, lo único que podemos hacer es dividirla por su período natural que es dos (dos semestres por año) para obtener la tasa periódica, tenemos (NASA/2= SA). También podemos extender el cálculo a sus equivalentes anuales anticipadas o vencidas con la siguiente secuencia:

NASA - SA - SV - NASV - SV  - SA  -NASA.

TIPS sobre las tasas periódicas

Es importante tener claridad que en las tasas periódicas no puedo dividir simplemente para calcular tasas de otros períodos, para hacerlo debo utilizar el modelo de las tasas efectivas que trataremos más adelante en otra entrada a este blog. Pueden calcularse sus equivalentes anticipadas o vencidas pero únicamente en sus propios periodos. Las tasas periódicas, repetimos, NO se pueden dividir, esto es por ejemplo, pensar que una tasa TV (trimestre vencido) se puede dividir por tres (3) para calcular su equivalente mensual, lo cual NO es correcto. Quien lo hace, simplemente está evidenciando su falta de conocimiento y destreza en el manejo de las tasas de interés.

Tips tasas nominales

Igualmente hacemos énfasis en que las tasas nominales (se presumen anuales) solamente se pueden dividir por su periodo natural, esto significa por ejemplo que una tasa NATV (nominal anual trimestre vencido) solamente se podrá dividir por cuatro (4) que es el número de periodos de la tasa periódica (trimestral) que hay en un año para determinar la tasa correspondiente trimestre vencida (TV). Entre tasas nominales anuales tampoco es correcto calcular por el mismo método su equivalente vencida o anticipada, esto solo puede hacerse entre tasas periódicas. 

NASA - NASV (error !!!) lo correcto es NASA - SA - SV - NASV. 

Otro ejemplo: 

NATV a NATA (error !!! ), lo correcto es NATV - TV - TA  - NATA.

La siguiente tabla ilustra las tasas de interés vistas hasta ahora y ejemplos (tasas periódicas, anticipadas o vencidas y sus correspondientes tasas nominales anuales).

Ejercicios Resueltos

1. Calcular la tasa de interés mensual anticipada equivalente de una tasa mensual del 1,2% vencido.

Solución: Debemos pasar de interés periódico vencido a interés periódico anticipado y ambas tasas son del mismo período (mensual) así que puedo proceder:

MA%= MV%/(1+MV%) = 1.20%/(1+1.20%)= 1,1858%

Nótese que la tasa mensual anticipada es menor que su equivalente mensual vencida.

2. Calcular la tasa de interés trimestre vencido equivalente de una tasa trimestral del 2,5% anticipada.

Solución: Debemos pasar de interés periódico anticipado a interés periódico vencido y ambas tasas son del mismo periodo (trimestral) así que puedo proceder:

TV%= TA%/(1-TA%)= 2,5000%/(1-2,5000%)= 2,5641%.

Nótese que la tasa trimestral vencida es mayor que su equivalente trimestral anticipada.

3. Calcular la tasa de interés semestral vencida equivalente de una tasa de interés nominal semestre anticipado del 6,25% (NASA),

Solución: Partimos de una tasa nominal semestre anticipado que se calculó partiendo de una tasa periódica semestre anticipado multiplicandola por el número de semestres por año (2). Así que lo único que podemos hacer con la tasa NASA es dividirla por dos (deshacer lo que hicimos para su cálculo). 6.25%NASA/2= 3.1250% SA.

Ahora que tenemos una tasa periódica, en esta caso semestre anticipado puedo calcular su equivalente pero vencida, esto es 3.125%/(1-3.125%)= 3.2258% SV. Nótese que la tasa semestre vencido equivalente es mayor que la tasa semestre anticipado dada, lo que confirma el resultado de nuestros cálculos.

4. Calcular la tasa de interés N347DA (nominal trescientos cuarenta y siete días anticipados) equivalente a una tasa de interés del 18% N347DV. El ejercicio busca la comprensión entre tasas nominales y periodicas pero en esta parte de las tasas solo podremos trabajar la secuencia en un mismo período.

Nótese que se trata del mismo período (347 días) con diferentes expresiones que ya hemos visto, así que podemos proceder.

Solución: El camino a seguir es el siguiente: 

N347DV - 347DV - 347DA - N347DA. 

Aplicando los números a este proceso tenemos:

N347DV - 347DV: 18%/(360/347)=18.6743% 347DV
347DV - 347DA: i%347DV/(1+i%347DV) = 18.6743%/(1+18.6743%)=
15,7357% 347DA
347DA - N347DA: 15.7357%*(360/347) =16.3253%

Puede constatar en la respuesta que las tasas nominales anticipadas son menores que las nominales vencidas en su mismo período. Recuerden para transitar entre nominales de un mismo período, debo buscar primero sus equivalentes periódicas.

Tasas de interés III: interés anticipado y vencido

Lo primero que debe tenerse en cuenta es que debemos partir de tasas periódicas para desarrollar los conceptos de tasas anticipadas y vencidas y la equivalencia entre ellas. Por supuesto que dada una tasa cualquiera (periódica anticipada o vencida, nominal anticipada o vencida o efectiva), siempre es posible calcular la equivalencia de cualquier otra tasa, pero implica una formulación dispendiosa que pocas personas están dispuestas a memorizar y menos a deducir. En las diferentes entradas sobre el tema de tasas de interés, siempre buscaremos el proceso más fácil para calcular las equivalencias entre tasas aunque ello implique que se haga empleando el paso a paso, a través de cálculos consecutivos desde la tasa dada hasta llegar a la tasa requerida.

Hasta ahora hemos tratado las tasas periódicas como si los intereses se pagaran al final del período, esto es, suponemos que siempre se pagan así, mes vencido, trimestre vencido, semestre vencido, noventa y siete días vencidos, etc. Así es, si no especificamos lo contrario, esto significa que si nos indican que una tasa es mensual debemos suponer que se trata de una tasa mes vencido. Sin embargo, aunque no es lo usual, también es posible que paguemos los intereses (o los recibamos en caso de ser prestamistas) de manera anticipada lo que significa al inicio del período ya sea que se trate de un mes anticipado (MA), un trimestre anticipado (TA), un semestre anticipado (SA) o cualquier período no regular, como ochenta y siete días anticipados (87 DA), ciento cincuenta y siete días anticipados (157 DA), etc.

En algunos créditos en el sistema financiero colombiano se especifican las tasas indexadas, por ejemplo a la DTF más unos puntos (Tasa con la cual los bancos captan recursos del público a través de Depósitos a Término Fijo a 90 días). La tasa puede ser DTF + 7,5% y está dada como nominal trimestre anticipado (los puntos adicionales también). Esto implica que los intereses se pagan trimestre anticipado y el capital trimestre vencido. Aquí debe tenerse en cuenta el valor de los intereses del primer trimestre por cuanto el banco, al desembolsar el crédito, descontará los intereses de manera anticipada y por ello el desembolso neto será menor que el crédito solicitado.

En estas circunstancias, hace sentido, que la tasa periódica anticipado debería ser menor que su equivalente periódica vencida. La razón obedece a que quien recibe los intereses de manera anticipada y no vencida, puede hacer uso del dinero durante este lapso, colocarlo nuevamente en préstamo a interés, por ejemplo, con lo cual recibiría una remuneración adicional que debe compensar la menor tasa que recibió por prestar su dinero con pago de intereses anticipados en cambio de hacerlo con pago de intereses vencidos. Igualmente, quien paga los intereses anticipados deja de utilizar este dinero en sus asuntos con lo cual paga un costo de oportunidad (no puede utilizar su tasa de interés de oportunidad para colocar su dinero) porque ha decidido pagar anticipado tal vez motivado por el menor interés que debe pagar al inicio del periodo, así que pagar menor interés lo motiva a hacerlo de forma anticipada.

Para hallar la equivalencia entre tasas de interés del mismo período anticipada y vencida es necesario utilizar la ecuación que permite calcular las tasa correspondiente. Siempre encuentro estudiantes que dicen "haber olvidado la fórmula" para calcular los intereses anticipados conocida la tasa periódica vencida o lo contrario, calcular la tasa vencida conocida la tasa periódica anticipada.

En forma general podemos indicar una fórmula inicial que permita ser utilizada fácilmente y luego adaptada o ajustada dependiendo de la tasa buscada y la tasa dada.

Esta fórmula es muy fácil de memorizar y tiene en sus tres componentes la tasa. A la izquierda de la igualdad se indica la tasa periódica buscada y a la derecha se incluirán los datos de la tasa periódica dada o conocida, haciendo énfasis que el denominador expresado a la derecha es la diferencia con la expresión (1 +/- Tasa). Siempre deberá incluirse el valor de una tasa periódica.

Tips para ajustar la formula:

1. En el denominador se encuentran los signos (+) y (-), se utilizará uno u otro dependiendo de la tasa solicitada. Primero debe ir el signo positivo y luego el negativo, así debe ser la condición humana, primero debemos elegir, tomar o analizar lo positivo de cada situación.

2. Empezaremos calculando la tasa periódica anticipada (ia) conocida la tasa periódica vencida del mismo período (iv) y por ello ajustaremos la fórmula inicial de la siguiente manera:

Al desarrollar, podemos indicar que calcularemos el interés periódico anticipado mediante una división a la derecha de la igualdad tomando como numerador el interés periódico vencido y dividiendo entre (1 + interés periódico vencido). Esta ecuación es una expresión derivada de la primera general y muy fácil de deducir y memorizar, solamente la tenemos que ajustar para adaptarla para el cálculo de la tasa anticipada. Importante reconocer que el denominador será siempre mayor que uno y además mayor que el numerador, por lo que el cociente (resultado) será siempre menor que uno (1), con lo cual se cumplirá que el interés periódico anticipado será menor que su equivalente  vencido en el mismo período, ia<iv.

3. Para el cálculo de la tasa periódica vencida (iv) conocida la tasa periódica anticipada del mismo periodo, ajustamos la fórmula general de la siguiente manera:

En este caso, tendremos a la derecha de la igualdad, en el numerador, la tasa periódica anticipada y en el denominador (1 - ia), el signo utilizado debe ser negativo. Importante reconocer ahora que el denominador será siempre menor que uno y mayor que cero (restamos de uno una cifra menor que uno) y además menor que el numerador, por lo que el cociente (resultado) será siempre mayor que el numerador, con lo cual se cumplirá que el interés periódico vencido será mayor que su equivalente anticipado en el mismo período, iv>ia.

Ahora ya podemos generalizar la formulación para el cálculo de equivalencia entre tasas anticipadas o vencidas entre sí, siempre y cuando correspondan al mismo período:

Muy bien, ahora haremos varios ejercicios para lograr el aprendizaje completo. Recuerde que primero el concepto debe quedar muy claro para pasar a la práctica:

Ejemplo 1. Calcular la tasa anticipada equivalente de una tasa del 1,5% Mensual.

Solución:

Lo primero es identificar la tasa, es periódica (mensual y se supone vencida) y por ello puedo pasarla a su equivalente mensual anticipada (en su mismo período).

Usando la ecuación para tasas anticipadas tendremos ia% = iv% / (1 + iv%)

1,5%/(1+1,5%)= 1,4778% mes anticipado (resultado menor que mensual vencido, lo cual es correcto para tasas anticipadas respecto de sus equivalentes vencidas para el mismo periodo)

Si utilizo esta tasa última tasa para hallar su equivalente vencida (incluyendo todos los decimales) debo llegar a la tasa original, veamos:

iv% = ia% / (1 - ia%)

1,4778…%/(1 – 1,4778…%)= 1,5% mensual. (Resultado mayor que su equivalente mes anticipado)

Ejemplo 2: Calcular la tasa vencida equivalente de una tasa del 3,20% trimestre anticipado.

De nuevo, lo primero es identificar la tasa, trimestre y es explícito que es anticipada. Ahora aplicamos el procedimiento: 

iv = ia/(1-ia) = 3,20%/(1-3,20%) = 3,3057851% (aproximar a tres decimales estará bien). La tasa vencida es mayor que su equivalente anticipada, lo cual es correcto.

Ahora si queremos hacer lo contrario, de vencida a anticipada, entonces:

ia = iv/(1+iv) = 3,3057851%/(1+3,3057851%) = 3,20%. Es muy importante para esta situación, utilizar todos los decimales razonables. Si está en Excel, pueden verse tres o cuatro decimales, pero la celda podría contener un número mayor si se toma directamente esta celda dentro de la formulación (celda vinculada).

EJERCICIOS:

1. Calcular la tasa anticipada equivalente a 1,78% mes vencido. R/. 1,74877%

2. Calcular la tasa anticipada equivalente a 2,6% trimestral. R/. 2,534113%

3. Calcular la tasa anticipada equivalente a 4,3% semestral. R/. 4,122723%

4. Calcular la tasa vencida equivalente a 4,87% semestral anticipada. R/.5,1193%

5. Calcular la tasa vencida equivalente a 3,12% trimestral anticipada. R/. 3,2205%

6. Calcular la tasa vencida equivalente a 1,42% mes anticipado. R/. 1,4405%

7. Calcular la tasa anticipada equivalente de 2,65% 89 días vencidos. R/. 2,5816%

8. Calcular la tasa vencida equivalente de 5,87% 197 días anticipados. R/. 6,2360%

El sector financiero colombiano expresa las tasas con cuatro cifras decimales aproximando el cuarto decimal.

Nota: Es muy importante tener en cuenta que las tasas anticipadas o vencidas se deben calcular equivalentes como hemos visto solamente cuando son periódicas, como trimestre vencido a trimestre anticipado o lo contrario. Por lo anterior NO se puede calcular directamente una tasa nominal periódica anticipada de su nominal periódica vencida o viceversa. ¡Esto sólo opera entre periódicas!

Veremos en la siguiente entrada a este blog, lo referente a tasas nominales.

Serie de ejercicios Interés Simple

El cálculo del interés generado por una deuda durante un período determinado de tiempo viene dado por la siguiente ecuación:

Interés generado en el periódo n (In) = Deuda (Capital K) * tasa interés en el periódo n, In%

In = K * In%

Si este valor lo multiplicamos por el número de períodos n, entonces podremos determinar el interés total acumulado en pesos durante varios periodos asumiendo que no hay amortización a capital. 

In = K * In%*n

En caso de haber amortización de capital, deberá construirse una tabla donde se incluya el valor de la deuda al inicio del período n, el interés generado durante el período, la amortización de capital al final del período n y el saldo a capital de la deuda al finalizar el respectivo período.

Para la serie de ejercicios se debe tener en cuenta esta formulación, despejando la variable desconocida y reemplazando las variables conocidas para determinar el valor que da respuesta a la pregunta. Por lo anterior, se pueden recrear infinidad de situaciones siempre con el mismo modelo de solución.

Serie de ejercicios:

1. Cual es el valor de la tasa de interés (%) aplicada a una deuda de COP$5.000.000 (cinco millones de pesos) si el deudor pagó una suma por interés vencido  de $COP75.000 en un mes? R= 1,5% mv

2. Cuál es el valor de una tasa de interés (%) aplicada a una deuda de $COP15.000.000 (quince millones de pesos) si el deudor acumuló pago total por intereses por valor de $COP3.000.000 en diez (10) meses? R= 2%

3. Cuál es el valor de la tasa de interés trimestral (%) aplicada a un crédito de $COP22.000.000 (veintidós millones de pesos) si el banco recibe el primer trimestre un interés de $COP262.500 pesos? R= 1,75%

4. Cual es el valor máximo de una deuda que podría tomar el dueño de un restaurante a un familiar si este le cobra una tasa de 1,6% mensual durante un año con amortización al final del año de plazo, si el dueño está dispuesto a pagar por intereses como máximo la suma de $6.000.000  (seis millones de pesos) en total durante el año de vigencia del crédito? R=1,6%

5. Cuál es la tasa de interés trimestral neta generada por una inversión de $COP35.000.000 (treinta y cinco millones de pesos), si al final de tres meses la liquido y me entregan la suma de $COP36.137.500)? R= 3,25%

6. El salario mínimo anual en Colombia en el año 2018 fue de $COP781.242, si en el año 2017 era de $737.717, cuál fué la tasa de incremento 2018 interanual? R=5,9%

7. Usted compró directamente los repuestos de sus lentes de contacto en el sitio web de internet del fabricante y por el juego de 6 pares pagó la suma de $COP363.600. Si su oftalmólogo le ofrecía exactamente la misma marca, referencia y cantidad por la suma de $COP500.000, cuál era la tasa de intermediación (recargo) aplicada por el (utilice tres cifras decimales? R=37,514%

8. Usted paga por administración del apartamento donde reside la suma mensual de $425.000 y en el nuevo año fué autorizado por la Asamblea de Copropietarios la suma de $480.250, cuál es la tasa de crecimiento aplicada? Si también fué aprobado el descuento por pronto pago (PP) antes del día 14 de cada mes por valor de 10% y usted lo tomará, cual será la tasa neta de incremento de la cuota de administración? R= 13% y 1,7%

9. Me gusta mucho ejercitarme trotando y por ello ahora estoy haciendo 12 Kms tres veces por semana. La primera semana tome tiempo promedio y logré correr esta distancia en 75 minutos, luego de ocho semanas mi tiempo mejoró a 55 minutos. Cuál es la tasa de rendimiento mejorado del ejercicio en dos meses? Para este ejercicio me controlo con el reloj de pulso cardíaco y la primera semana estaba haciendo en promedio 90 ppm y después de los dos meses he mejorado a 82  ppm promedio, que tasa de rendimiento he mejorado? R=26,67% y 8,89%

10. Mi profesor de literatura española me ha pedido que elabora un ensayo y lo he presentado con un total de 1.500 palabras, sin embargo el máximo debe ser de 1,300, que porcentaje de exceso de palabras he escrito? 15,385%

11. Estuve recientemente haciendo un pago de servicios públicos en un punto baloto y encontré información sobre transferencias de fondos (remesas la llaman los bancos) entre terceros. Usted puede mandar un giro a cualquier municipio del territorio nacional y claro, tiene que pagar por el servicio. Por ejemplo, para un giro hasta de $COP50.000, debe pagar $4.700 (información de febrero de 2021), podría calcular una tasa como el costo de envio del dinero para esta suma máxima? Entre menos dinero envíe, el costo como tasa será más alto.  Para giros entre $COP100.001 y $150.000 el costo de transferencia es de $COP7,500, podría calcular el costo como la tasa equivalente máxima y mínima para estos dos rangos? La tabla completa la transcribo a continuación:

Calcule ahora las tasas (costo equivalente de la transferencia sobre el valor del giro) para cada nivel del rango (mínima y máxima transferencia). Ahora, le parece un costo alto, medio o bajo? Evalúe opciones del mercado para hacer transferencias, cuáles elegiría en razón a costo/beneficio?

En caso de haber amortización de capital, deberá construirse una tabla donde se incluya el valor de la deuda al inicio del período n, el interés generado durante el período, la amortización de capital al final del período n y el saldo a capital de la deuda al finalizar el respectivo período. R= Para el rango entre $50,001 y $100.000 la tasa estará entre un rango de 12% y 6%.

11. Cuál es el valor de los intereses pagados a un banco durante la vigencia de un crédito por la suma de $COP20.000.000 a una tasa de interés del 1.25% mensual (se supone vencido si no se dice lo contrario.) si el plazo es de 20 meses y se amortiza $1.000.000 al final de cada mes? R= Total intereses pagados $2,625,000. Sugerencia: Elabore una tabla para calcular el pago de interés cada mes sobre el saldo al inicio de cada período durante 20 meses teniendo en cuenta el abono mensual.