Las tasas efectivas además de ser una reexpresión de las tasas periódicas vencidas, permiten calcular la rentabilidad anual de una inversión con lo cual se expresa de una manera precisa el costo del dinero y pueden hacerse las comparaciones de los diferentes productos del mercado. Las instituciones financieras están obligadas a publicar de forma periódica las tasas efectivas de sus diferentes productos tanto de captación como de colocación (tasas pasivas y activas) para que el público en general pueda tomar decisiones.
Siempre que se acumula crecimiento, estaremos ante las tasas efectivas que calculan el comportamiento de ese crecimiento que se genera de manera acumulativa. Veamos por ejemplo la inflación, el crecimiento en precios se genera sobre los precios del período anterior, mensual por conveniencia en la medición. El siguiente mes, el crecimiento de precios se calcula sobre los precios del mes anterior, con lo cual tendremos dos meses acumulados de inflación y así sucesivamente hasta tener la inflación anual que mide el crecimiento acumulado de los precios de bienes y servicios de una economía en particular.
Así como medimos la inflación, podemos tener en un período de tiempo las mediciones en inversiones en portafolio, el crecimiento de población, incremento del salario mínimo, crecimientos en ventas, devaluaciones o revaluaciones de monedas, las cuales se expresan en tasas efectivas anuales para mayor comprensión de los interesados. En particular, las tasas de interés que se publican en el mercado financiero colombiano (Tasa Interbancaria, DTF, inflación anual y año corrido, Tasa de Intervención del Banco Central) y los mercados internacionales (Prime, LIBOR, tasa de intervención de la FED y cualquier banco central, emisión de deuda como bonos, rentabilidades de otros activos financieros como acciones y commodities) se expresan a través de tasas efectivas.
Por lo tanto el conocimiento y uso de tasas efectivas es un imperativo profesional dado su uso permanente en los negocios y la economía, en los diversos proyectos disciplinares, en áreas tan complejas como la epidemiología, demografía, estadística o la física, pero también, es una necesidad en los individuos para tomar las mejores decisiones desde el punto de vista de sus finanzas personales como lo veremos en diferentes ejemplos en esta entrada.
Las tasas efectivas permiten determinar, por ejemplo, el valor acumulado por una inversión cuando esta se coloca de manera consecutiva, período tras período, a una tasa de rentabilidad periódica determinada, lo que permite acumular cada período el capital con el interés generado y con ello acumular más capital (se dice que se capitaliza el interés de esta manera) y que se coloca de nuevo otro periodo para continuar acumulando nuevos intereses sobre el capital acumulado que de nuevo se capitalizan y se reinvierten una y otra vez. Este es el lado del inversionista, pero se puede ver desde el lado de la entidad financiera que capta los fondos, esta responsable por el pago de intereses y el principal (capital) al vencimiento, pero a su vez esta entidad una vez recibe los fondos, tiene la oportunidad de colocarlos en productos financieros (créditos en general, tarjeta de crédito, hipotecas, etc) con lo cual acumula intereses que le generarán su propia tasa de rentabilidad efectiva.
Los bancos y el sector financiero en general a través de su portafolio de productos, son expertos en colocar dinero en nuevos créditos que recuperan a través del pago de cuotas periódicas (capital amortizado más el interés sobre la deuda) que luego colocan en nuevos créditos a través de diversos canales comerciales (préstamos comerciales, créditos hipotecarios, tarjetas de crédito, libranzas, créditos corporativos entre otros) con lo cual capitalizan permanentemente el interés que reciben de sus producto en el mercado y ello les permite acumular más capital. En el siguiente ejemplo cómo se acumula el interés periodo tras periodo con un análisis sencillo que nos permite un mejor acercamiento conceptual al tema de las tasas efectivas.
Veamos a través de un proceso sencillo como llegar al modelo conceptual para el cálculo de las tasas efectivas:
Supongamos que un inversionista tiene una suma de dinero (capital inicial que denominaremos $K) que desea colocar a una tasa periódica de interés i% (presumimos que no hay riesgo y que se recibirán el interés y el capital intactos al final de cada período).
Al finalizar el primer periodo de inversión tendrá:
El capital inicial $K
Los intereses generados equivalentes a $K * i% (capital por la tasa de interés).
Si sumamos capital e interés tendremos: Total Disponible :$K+$K+i%
Si observamos esta ecuación, tenemos un factor común (aquí es importante recordar el tema de factorización visto en el texto "Álgebra de A. Baldor" durante el bachillerato, entonces:
$K + $K+i% = $K * (1+ i%)
En $K + $K * (1 + i%) factorizamos $K como común elemento en ambos sumandos.
Pasemos ahora al concepto de reinversión incluyendo la capitalización de intereses:
Si se reinvierte por un período adicional el total acumulado al final del primer periódo que denominaremos capital acumulado calculado como $K * (1+i%) tendremos lo siguiente al finalizar el segundo período:
Capital : ($K * (1+i%))
Interés : ($K * (1+i%)) * i% (capital invertido un período por la tasa de interés del periódo)
Total acumulado al final del segundo periodo será entonces:
Capital + interés = ($K * (1+i%)) + ($K * (1+i%)) * i%.
De nuevo aplicamos la factorización y vemos un elemento que se repite en ambos sumandos que es $K * (1+i%), por lo tanto:
($K * (1+i%)) + ($K * (1+i%)) * i% = $K * (1 + i%) * (1 + i%)
Aquí tenemos una multiplicación de los factores iguales (1 + i%) * (1 + i%) lo que es equivalente a (1 + i%)^2 (base (1+i%) elevado al cuadrado).
Si efectuamos este procedimiento periodo tras periodo acumulando los intereses (además de factorizar los términos) y colocando el nuevo capital a la tasa de interés de referencia i%, tendremos la siguiente secuencia:
Las expresiones para valor futuro VF y valor presente VP son muy importantes en finanzas por cuanto permiten calcular el valor del dinero a través del tiempo. Cualquier suma de dinero presente (VP) puede reexpresarse en un tiempo futuro (VF) si conocemos la tasa de interés aplicable y el tiempo transcurrido. Así mismo, podemos conocer el valor presente (VP) de una suma futura de dinero (VF) si tenemos la información de la tasa de interés del período y el número de períodos transcurridos.
Dicho esto, podemos afirmar que no es lo mismo tener hoy disponible la suma de un millón de pesos colombianos ($COP1.000.000) que tener esa misma suma disponible al final de un año, porque es de sentido común que prefiero tener este dinero ahora y no dentro de un año (el solo efecto de la inflación desvaloriza el dinero). De igual forma, preferiría esperar a tener al final de un año la suma de un millón de pesos y no recibir ahora $500.000 (mis opciones de inversión no me permiten duplicar este capital en un año). Esto y lo que hemos visto es lo que se afirma como el costo del dinero a través del tiempo y solo podemos hacer comparaciones entre dineros en diferentes momentos del tiempo a través de las tasas de interés.
Para un crédito es fácil porque la tasa de interés nos la impone el banco. Pero cuando se trata de un inversionista que coloca su dinero en un activo, por ejemplo una participación accionaria en una compañía o un activo con posibilidades de valorizarse, esa tasa de interés que esperaría recibir por su inversión, durante un tiempo que puede incluso ser de años, puede denominarse como la tasa de interés de oportunidad (TIO en el lenguaje financiero) y su cálculo su estimación es un tema de estudio de finanzas avanzadas.
Volvamos al valor futuro nuevamente para utilizarlo con el fin de calcular el cambio de valor de la tasa de interés a medida que transcurre la reinversión de utilidades para lograr acumular más capital y con ello explicar en detalle el cálculo de tasas efectivas y su conexión con las tasas periódicas.
Si tenemos el valor futuro como lo habíamos expresado:
Vamos a suponer que ahora la inversión será de una unidad monetaria (puede tratarse de pesos colombianos ($COP), euros ($EUR), dólares americanos ($USD) o cualquier otra moneda que represente, la cual pondremos a una tasa de interés periódica vencida de i% durante N períodos.
De esta manera podemos reexpresar el VF como la unidad monetaria que hemos invertido más todo el interés acumulado que denominamos Ie (interés efectivo) durante los N períodos así:
Lo cual es equivalente a:
Al calcular el interés efectivo Ie que gana una unidad monetaria basado en la tasa de interés i% y el número de períodos capitalizados N, podemos aplicarlos para el total de la suma de dinero invertido. Por ejemplo, el interés acumulado al invertir una suma de dinero a una tasa de interés del 3% mensual durante doce meses, la tasa de interés acumulado, esto es el interés efectivo será:
(1+3%)^(12) -1 = 42,58%
Si la inversión total (VP) ha sido de $1.000.000, la suma acumulada (VF) será de $1.000.000 * (1 + 42,48%) = $1.425.800, lo cual hace más fácil el uso de tasas de interés que se capitalizan para calcular cualquier suma de dinero invertida en estas condiciones.
Podemos utilizar la expresión con la cual calculamos la tasa de interés efectiva (la cual se calcula con la tasa de interés periódica y el número de períodos capitalizados N) para calcular precisamente la tasa de interés periódica, así que la tasa de interés periódica, conocida la tasa de interés efectiva será :
In% = (1 + Ie%)^(1/n) - 1
Lo que indica que si tenemos la tasa efectiva sobre la cual tenemos estimado ganar en una inversión determinada o tendremos que pagar por un crédito, podremos calcular la tasa periódica equivalente.
Tomando el ejemplo anterior, cuál será la tasa de interés mensual equivalente a una tasa de interés efectiva anual del 42,58% ? En este caso Ie (interés efectivo) es del 42,58%, N es 12 y la tasa de interés periódica será:
Recordemos, por la construcción que hicimos, que las tasas de interés efectivas se calculan a partir de tasas periódicas vencidas, en este caso la tasa mensual calculada es vencida, esto es mes vencida dado que el cálculo del dinero acumulado siempre se realizó al final de cada período. Normalmente, las tasas efectivas se consideran anuales, pero si el periodo de capitalización es mayor a un año, también se trata de tasas efectivas pero debe precisarse el periodo de tiempo transcurrido, por ejemplo 18 meses. Recordemos que la tasa de interés efectiva se estima al "capitalizar y reinvertir por varios períodos" por lo que cualquier número de períodos puede trabajarse. Por convención general, las tasas efectivas se presumen anuales, salvo que se indique lo contrario.
Ejercicios resueltos (suponga año de 360 días):
1. Cuál es la tasa de interés efectiva de una inversión colocada al 1,2% mes vencido?
Ie = (1+1,2%)^(12) – 1 = 15,3895%
2. Cuál es la tasa de interés efectivo de una inversión colocada al 2,7% trimestre vencido?
Ie = (1+2,7%)^(4) – 1 = 11,2453% (un trimestre capitaliza 4 periodos por año).
3. Cuál es la tasa de interés trimestral equivalente a una tasa de interés efectiva del 27%?
Itv = (1+27%)^(1/4) – 1 = 6,1576% (un trimestre capitaliza 4 periodos por año).
4. Cuál es la tasa efectiva correspondiente a una tasa del 1,15% MV?
Ie = (1+1,15%)^(12)-1 = 14,70719%
5. Cuál es la tasa efectiva correspondiente a una tasa del 6,89% TV?
Ie = (1+6,89%)^(4)-1 = 30,54141%
6. Cual es la tasa MV equivalente a una tasa del 5,67% SA?
Recuerde que cuando hay cambio de período, es necesario utilizar el procedimiento de las tasas efectivas y para ello necesita una tasa periódica vencida.
El procedimiento debe ser el siguiente: SA-SV-MV
La tasa periódica vencida más cercana de SA es por supuesto SV.
SV = SA/(1-SA) = 5,67%/(1-5,67%)=6,01081% SV
Una tasa mensual capitaliza 6 veces en un semestre, SV = (1+ MV%)^(6)-1, entonces:
MV = (1 + SV)^(1/6)-1 = (1 + 6,01081%)^(1/6)-1 = 0,97760%
7. Cuál es la tasa MV equivalente a una tasa del 21% N237DA (nominal 237 días anticipados).
El procedimiento debe ser el siguiente: N237DA - 237DA - 237DV - DV - MV
La tasa nominal debe descomponerse y para hacerlo debe dividirse por su período natural que es (360/237), entonces:
237DA = N237DA/(360/237) = 21% / (360/237) = 13,825% 237DA
Para cambiar de período a MV es necesario hacerlo entre tasas anticipadas, por lo que necesitamos la tasa vencida más cercana a 237DA que es 237DV, así:
237DV = 237DA / (1 - 237DA) = 13,825% / (1 - 13,825%) = 16,04294% 237DV
1 día capitaliza 237 veces en un período de 237 días, entonces:
DV = (1 + 237DV)^(1/237) - 1 = (1 + 16,04294%)^(1/237) - 1 = 0,06280% DV
MV = (1 + 0,06280%)^(30) - 1 = 1,90127%
Puede ahorrarse tiempo utilizando las vencidas para pasar directamente de 237DV a MV así:
MV = (1 + 237DV)^(30/237)= (1 + 16,04294%)^(30/237) -1 = 1,90127%
8. Cual es la tasa de interés equivalente NMA a una tasa del 27.67% N89DA?
El procedimiento debe ser, buscando tasas periódicas vencidas, el siguiente:
N89DA - 89DA - 89DV - DV - MV - MA - NMA
ó saltándose desde vencidas así: 89DV - MV - MA - NMA, veamos :
89DA = N89DA / (360/89) = 27,67% / (360/89) = 6,8406% 89DA
89DV = 89DA / (1-89DA) = 6,8406% / (1 - 6,8406%) = 7,3429% 89DV
DV = (1+89DV)^(1/89)-1 = (1+7,3429%)^(1/89)-1 = 0,0796% DV
MV = (1+DV)^(30)-1 = (1+,0796%)^(30)-1 = 2,4172% MV
MA = MV / (1+MV) = 2,4172% / (1+2,4172%) = 2,3602% MA
NMA = MA * 12 = 2,3602% * 12 = 28,3223%
Si hacemos el paso corto de 89DV - MV - MA - NMA:
MV = (1+89DV)^(30/89) - 1 = (1+7,3429%)^(30/89)-1= 2,4172% MV
MA = MV / (1+MV) = 2,4172% / (1+2,4172%) = 2,3602% MA
NMA = MA * 12 = 2,3602% * 12 = 28,3223%
9. Cuál es la tasa equivalente N200DA a una tasa del 28.8976% N400DA?
Procedimiento de cálculo: N400DA - 400DA - 400DV - 200DV - 200DA - N200DA, lo cual nos permite ahorrar el paso por DV (Día vencido), veamos:
400DA = N400DA / (360/400) = 28,8976%/(360/400)=32,10844% 400DA
400DV = 400DA /(1- 400DA) = 32,10844%/(1 - 32,10844%)=47,29372% 400DV
200DV = (1+400DV)^(200/400)-1=(1+47,29372%)^(200/400) - 1 = 21,36463% 200DV
200DA = 200DV / (1 + 200DV) = 21,36463%/ (1+21,36463%)=17,60367% 200DA
N200DA = 200DA * (360/200) = 17,60367% * (360/200)=31,68660% N200DA
10. Cuál es la tasa equivalente EA a una tasa diaria del 0.06%DV? ¿Cual es la lasa TV? ¿Cuál es la tasa SV? ¿Cuál es la tasa 198DV? ¿Cuál es la tasa 89DA?¿Cuál es la tasa 180DA?
EA = (1+DV)^(360)-1 = (1+0,06%)^(360)-1= 24,1022% EA
SV= (1+DV)^(180)-1=(1+0,06%)^(180)-1=11,40117% SV
SV = (1+EA)^(1/2)-1= (1+24,1022%)^(1/2)-1= 11,40117% SV
198DV =(1+DV)^(198)-1=(1+0,06%)^(198)-1= 12,61045% 189DV
189DV =(1+EA) ^(189/360)-1 = (1+24,1022%)^(189/360)-1 = 12,61045% 189DV
189DV =(1+SV)^(189/180)-1 = (1+11,40117%)^(189/180)-1=12,61045% 189DV
89DV = (1+DV)^(89)-1 = (1+0,06%)^(89)-1= 5,48346% 89DV
89DA = 89DV/(1+89DV) = 5,48346%/(1+5,48346%)=5,19841% 89DA
Trate de calcular 89DV directamente desde EA, SV, 189DV.
180DV = (1+EA)^(180/360)-1= (1+24,1022%)^(180/360)-1= 11,40117% 180DV
180DA = 180DV /(1+180DV) = 11,40117%/(1+11,40117%) = 10,23433% 180DA.
Todas estas tasas son equivalentes a la tasa diaria de 0,06%.
En las próximas entradas a este blog, entregaremos ejercicios para desarrollar con sus respuestas y presentaremos múltiples aplicaciones de las tasas efectivas en diversas situaciones que se presentan en el ámbito empresarial y financiero.
No hay comentarios:
Publicar un comentario