Lo primero que debe tenerse en cuenta es que debemos partir de tasas periódicas para desarrollar los conceptos de tasas anticipadas y vencidas y la equivalencia entre ellas. Por supuesto que dada una tasa cualquiera (periódica anticipada o vencida, nominal anticipada o vencida o efectiva), siempre es posible calcular la equivalencia de cualquier otra tasa, pero implica una formulación dispendiosa que pocas personas están dispuestas a memorizar y menos a deducir. En las diferentes entradas sobre el tema de tasas de interés, siempre buscaremos el proceso más fácil para calcular las equivalencias entre tasas aunque ello implique que se haga empleando el paso a paso, a través de cálculos consecutivos desde la tasa dada hasta llegar a la tasa requerida.
Hasta ahora hemos tratado las tasas periódicas como si los intereses se pagaran al final del período, esto es, suponemos que siempre se pagan así, mes vencido, trimestre vencido, semestre vencido, noventa y siete días vencidos, etc. Así es, si no especificamos lo contrario, esto significa que si nos indican que una tasa es mensual debemos suponer que se trata de una tasa mes vencido. Sin embargo, aunque no es lo usual, también es posible que paguemos los intereses (o los recibamos en caso de ser prestamistas) de manera anticipada lo que significa al inicio del período ya sea que se trate de un mes anticipado (MA), un trimestre anticipado (TA), un semestre anticipado (SA) o cualquier período no regular, como ochenta y siete días anticipados (87 DA), ciento cincuenta y siete días anticipados (157 DA), etc.
En algunos créditos en el sistema financiero colombiano se especifican las tasas indexadas, por ejemplo a la DTF más unos puntos (Tasa con la cual los bancos captan recursos del público a través de Depósitos a Término Fijo a 90 días). La tasa puede ser DTF + 7,5% y está dada como nominal trimestre anticipado (los puntos adicionales también). Esto implica que los intereses se pagan trimestre anticipado y el capital trimestre vencido. Aquí debe tenerse en cuenta el valor de los intereses del primer trimestre por cuanto el banco, al desembolsar el crédito, descontará los intereses de manera anticipada y por ello el desembolso neto será menor que el crédito solicitado.
En estas circunstancias, hace sentido, que la tasa periódica anticipado debería ser menor que su equivalente periódica vencida. La razón obedece a que quien recibe los intereses de manera anticipada y no vencida, puede hacer uso del dinero durante este lapso, colocarlo nuevamente en préstamo a interés, por ejemplo, con lo cual recibiría una remuneración adicional que debe compensar la menor tasa que recibió por prestar su dinero con pago de intereses anticipados en cambio de hacerlo con pago de intereses vencidos. Igualmente, quien paga los intereses anticipados deja de utilizar este dinero en sus asuntos con lo cual paga un costo de oportunidad (no puede utilizar su tasa de interés de oportunidad para colocar su dinero) porque ha decidido pagar anticipado tal vez motivado por el menor interés que debe pagar al inicio del periodo, así que pagar menor interés lo motiva a hacerlo de forma anticipada.
Para hallar la equivalencia entre tasas de interés del mismo período anticipada y vencida es necesario utilizar la ecuación que permite calcular las tasa correspondiente. Siempre encuentro estudiantes que dicen "haber olvidado la fórmula" para calcular los intereses anticipados conocida la tasa periódica vencida o lo contrario, calcular la tasa vencida conocida la tasa periódica anticipada.
En forma general podemos indicar una fórmula inicial que permita ser utilizada fácilmente y luego adaptada o ajustada dependiendo de la tasa buscada y la tasa dada.
Esta fórmula es muy fácil de memorizar y tiene en sus tres componentes la tasa. A la izquierda de la igualdad se indica la tasa periódica buscada y a la derecha se incluirán los datos de la tasa periódica dada o conocida, haciendo énfasis que el denominador expresado a la derecha es la diferencia con la expresión (1 +/- Tasa). Siempre deberá incluirse el valor de una tasa periódica.
Tips para ajustar la formula:
1. En el denominador se encuentran los signos (+) y (-), se utilizará uno u otro dependiendo de la tasa solicitada. Primero debe ir el signo positivo y luego el negativo, así debe ser la condición humana, primero debemos elegir, tomar o analizar lo positivo de cada situación.
2. Empezaremos calculando la tasa periódica anticipada (ia) conocida la tasa periódica vencida del mismo período (iv) y por ello ajustaremos la fórmula inicial de la siguiente manera:
Al desarrollar, podemos indicar que calcularemos el interés periódico anticipado mediante una división a la derecha de la igualdad tomando como numerador el interés periódico vencido y dividiendo entre (1 + interés periódico vencido). Esta ecuación es una expresión derivada de la primera general y muy fácil de deducir y memorizar, solamente la tenemos que ajustar para adaptarla para el cálculo de la tasa anticipada. Importante reconocer que el denominador será siempre mayor que uno y además mayor que el numerador, por lo que el cociente (resultado) será siempre menor que uno (1), con lo cual se cumplirá que el interés periódico anticipado será menor que su equivalente vencido en el mismo período, ia<iv.
3. Para el cálculo de la tasa periódica vencida (iv) conocida la tasa periódica anticipada del mismo periodo, ajustamos la fórmula general de la siguiente manera:
En este caso, tendremos a la derecha de la igualdad, en el numerador, la tasa periódica anticipada y en el denominador (1 - ia), el signo utilizado debe ser negativo. Importante reconocer ahora que el denominador será siempre menor que uno y mayor que cero (restamos de uno una cifra menor que uno) y además menor que el numerador, por lo que el cociente (resultado) será siempre mayor que el numerador, con lo cual se cumplirá que el interés periódico vencido será mayor que su equivalente anticipado en el mismo período, iv>ia.
Ahora ya podemos generalizar la formulación para el cálculo de equivalencia entre tasas anticipadas o vencidas entre sí, siempre y cuando correspondan al mismo período:
Muy bien, ahora haremos varios ejercicios para lograr el aprendizaje completo. Recuerde que primero el concepto debe quedar muy claro para pasar a la práctica:
Ejemplo 1. Calcular la tasa anticipada equivalente de una tasa del 1,5% Mensual.
Solución:
Lo primero es identificar la tasa, es periódica (mensual y se supone vencida) y por ello puedo pasarla a su equivalente mensual anticipada (en su mismo período).
Usando la ecuación para tasas anticipadas tendremos ia% = iv% / (1 + iv%)
1,5%/(1+1,5%)= 1,4778% mes anticipado (resultado menor que mensual vencido, lo cual es correcto para tasas anticipadas respecto de sus equivalentes vencidas para el mismo periodo)
Si utilizo esta tasa última tasa para hallar su equivalente vencida (incluyendo todos los decimales) debo llegar a la tasa original, veamos:
iv% = ia% / (1 - ia%)
1,4778…%/(1 – 1,4778…%)= 1,5% mensual. (Resultado mayor que su equivalente mes anticipado)
Ejemplo 2: Calcular la tasa vencida equivalente de una tasa del 3,20% trimestre anticipado.
De nuevo, lo primero es identificar la tasa, trimestre y es explícito que es anticipada. Ahora aplicamos el procedimiento:
iv = ia/(1-ia) = 3,20%/(1-3,20%) = 3,3057851% (aproximar a tres decimales estará bien). La tasa vencida es mayor que su equivalente anticipada, lo cual es correcto.
Ahora si queremos hacer lo contrario, de vencida a anticipada, entonces:
ia = iv/(1+iv) = 3,3057851%/(1+3,3057851%) = 3,20%. Es muy importante para esta situación, utilizar todos los decimales razonables. Si está en Excel, pueden verse tres o cuatro decimales, pero la celda podría contener un número mayor si se toma directamente esta celda dentro de la formulación (celda vinculada).
EJERCICIOS:
1. Calcular la tasa anticipada equivalente a 1,78% mes vencido. R/. 1,74877%
2. Calcular la tasa anticipada equivalente a 2,6% trimestral. R/. 2,534113%
3. Calcular la tasa anticipada equivalente a 4,3% semestral. R/. 4,122723%
4. Calcular la tasa vencida equivalente a 4,87% semestral anticipada. R/.5,1193%
5. Calcular la tasa vencida equivalente a 3,12% trimestral anticipada. R/. 3,2205%
6. Calcular la tasa vencida equivalente a 1,42% mes anticipado. R/. 1,4405%
7. Calcular la tasa anticipada equivalente de 2,65% 89 días vencidos. R/. 2,5816%
8. Calcular la tasa vencida equivalente de 5,87% 197 días anticipados. R/. 6,2360%
El sector financiero colombiano expresa las tasas con cuatro cifras decimales aproximando el cuarto decimal.
Nota: Es muy importante tener en cuenta que las tasas anticipadas o vencidas se deben calcular equivalentes como hemos visto solamente cuando son periódicas, como trimestre vencido a trimestre anticipado o lo contrario. Por lo anterior NO se puede calcular directamente una tasa nominal periódica anticipada de su nominal periódica vencida o viceversa. ¡Esto sólo opera entre periódicas!
Veremos en la siguiente entrada a este blog, lo referente a tasas nominales.
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